Twierdzenie spektralne: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana]

Usunięta treść Dodana treść

Jednokolumnowy

Wersja z 23:26, 15 lut 2009

Twierdzenie spektralne – wspólna nazwa twierdzeń algebry liniowej i analizy funkcjonalnej, charakteryzujących pewne szczególne operatory liniowe, określone na przestrzeniach Hilberta.

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru nad ciałem liczb zespolonych z formą hermitowską dodatnio określoną^[1]. Jeśli $A:V\to V$ jest operatorem samosprzężonym, to istnieje baza ortogonalna przestrzeni $V$ złożona z wektorów własnych operatora $A.$

Przy założeniach powyższych twierdzeń:

Istnieje baza ortonormalna przestrzeni $V$ . Wystarczy wektory bazy ortogonalnej unormować (tzn. każdy wektor podzielić przez jego normę).
Endomorfizm $A$ jest diagonalizowalny.

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta oraz niech $T:H\to H$ będzie operatorem ograniczonym i normalnym^[2]. Wówczas istnieje dokładnie jedna miara spektralna $F$ określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich widma $\sigma (T)$ operatora $T$ taka, że:

T=\int \limits _{\sigma (T)}\lambda F(d\lambda )

Miara spektralna $F$ z powyższego twierdzenia jest nazywana rozkładem spektralnym operatora $T$ lub przedstawieniem spektralnym operatora $T.$
Dla wygody, często rozważa się miarę spektralną $F$ jako zdefiniowaną dla wszystkich podzbiorów borelowskich $A$ zbioru $\mathbb {C} .$ Aby to uzyskać zdefiniujmy dodatkowo:

F(A)=0

jeżeli

A\cap \sigma (T)=\varnothing .

↑ ^a ^b Zauważmy, że przestrzeń o której mowa to szczególny przypadek przestrzeni Hilberta.
↑ W szczególności, normalne są operatory samosprzężone.

Serge Lang, Ryszard Bittner: Algebra. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1984, s. 360-365. ISBN 83-01-01519-5.
Włodzimierz Mlak: Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, s. 257-265. ISBN 83-01-07376-4.
Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001, s. 327-344. ISBN 83-01-13375-9.
Eric W. Weisstein: Spectral Theorem - Wolfram MathWorld. [dostęp 10 lutego 2009]. (ang.).

@@ Linia 16: / Linia 16: @@
 Niech <math> H </math> będzie [[przestrzeń Hilberta|przestrzenią Hilberta]] oraz niech <math> T : H \to H </math> będzie operatorem [[Operator ograniczony|ograniczonym]] i [[operator normalny|normalnym]]<ref> W szczególności, normalne są operatory samosprzężone.</ref>. Wówczas istnieje dokładnie jedna [[Hermitowska miara spektralna|miara spektralna]] <math> F </math> określona na [[sigma-ciało|σ-ciele]] [[Podzbiór|podzbiorów]] [[Zbiór borelowski|borelowskich]] [[widmo (matematyka)|widma]] <math> \sigma (T) </math> operatora <math> T </math> taka, że:
 : <math> T = \int\limits_{\sigma (T)} \lambda F(d\lambda) </math>
+=== Uwagi ===
+* Miara spektralna <math> F </math> z powyższego twierdzenia jest nazywana ''rozkładem spektralnym operatora'' <math> T </math> lub  ''przedstawieniem spektralnym operatora'' <math> T .</math>
+* Dla wygody, często rozważa się miarę spektralną <math> F </math> jako zdefiniowaną dla wszystkich podzbiorów borelowskich <math> A </math> zbioru <math> \mathbb{C}. </math> Aby to uzyskać zdefiniujmy dodatkowo:
+:: <math> F(A) = 0 </math> jeżeli <math> A \cap \sigma(T) = \varnothing . </math>
 == Zobacz też ==