Twierdzenie spektralne: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana]

Usunięta treść Dodana treść

Jednokolumnowy

Wersja z 21:35, 16 lut 2009

Twierdzenie spektralne – wspólna nazwa twierdzeń algebry liniowej i analizy funkcjonalnej, charakteryzujących pewne szczególne operatory liniowe, określone na przestrzeniach Hilberta.

Operatory samosprzężone

Przypadek rzeczywisty

Niech $V$ będzie prezestrzenią ortogonalną nad ciałem liczb rzeczywistych z dodatnio określonym funkcjonałem dwuliniowym^[1]. Jeśli $A:V\to V$ jest endomorfizmem samosprzężonym, to istnieje baza ortogonalna przestrzeni $V$ złożona z wektorów własnych endomorfizmu $A.$

Przypadek zespolony

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru nad ciałem liczb zespolonych z formą hermitowską dodatnio określoną^[1]. Jeśli $A:V\to V$ jest operatorem samosprzężonym, to istnieje baza ortogonalna przestrzeni $V$ złożona z wektorów własnych operatora $A.$

Wniosek

Przy założeniach powyższych twierdzeń:

Istnieje baza ortonormalna przestrzeni

V

złożona z wektorów własnych operatora

A

. Wystarczy wektory bazy ortogonalnej unormować (tzn. każdy wektor podzielić przez jego normę).

Ograniczone operatory normalne

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta oraz niech $T:H\to H$ będzie operatorem ograniczonym i normalnym^[2]. Wówczas istnieje dokładnie jedna miara spektralna $F$ określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich widma $\sigma (T)$ operatora $T$ taka, że:

T=\int \limits _{\sigma (T)}\lambda F(d\lambda )

Uwagi

Miara spektralna $F$ z powyższego twierdzenia jest nazywana rozkładem spektralnym operatora $T$ lub przedstawieniem spektralnym operatora $T.$
Dla wygody, często rozważa się miarę spektralną $F$ jako zdefiniowaną dla wszystkich podzbiorów borelowskich $B$ zbioru $\mathbb {C} .$ Aby to uzyskać zdefiniujmy dodatkowo:

F(B)=0

jeżeli

B\cap \sigma (T)=\varnothing .

Zobacz też

↑ ^a ^b Zauważmy, że przestrzeń o której mowa to szczególny przypadek przestrzeni Hilberta.
↑ W szczególności, normalne są operatory samosprzężone.

Źródła

Serge Lang, Ryszard Bittner: Algebra. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1984, s. 360-365. ISBN 83-01-01519-5.
Włodzimierz Mlak: Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, s. 257-265. ISBN 83-01-07376-4.
Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001, s. 327-344. ISBN 83-01-13375-9.
Eric W. Weisstein: Spectral Theorem - Wolfram MathWorld. [dostęp 10 lutego 2009]. (ang.).

[przHilb-1] Zauważmy, że przestrzeń o której mowa to szczególny przypadek przestrzeni Hilberta.

[2] W szczególności, normalne są operatory samosprzężone.

[1]

[2]

@@ Linia 8: / Linia 8: @@
 Niech <math> V </math> będzie [[Przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]] skończonego [[Wymiar (matematyka)|wymiaru]] nad ciałem [[Liczby zespolone|liczb zespolonych]] z [[Przestrzeń unitarna#Formy hermitowskie|formą hermitowską]] dodatnio określoną<ref name = "przHilb" />. Jeśli <math> A : V \to V </math> jest [[Sprzężenie hermitowskie|operatorem samosprzężonym]], to istnieje baza ortogonalna przestrzeni <math> V </math> złożona z wektorów własnych operatora <math> A .</math>
-=== Wnioski ===
+=== Wniosek ===
 Przy założeniach powyższych twierdzeń:
-# Istnieje [[baza ortonormalna]] przestrzeni <math> V </math>. Wystarczy wektory bazy ortogonalnej unormować (tzn. każdy wektor podzielić przez jego normę).
+: Istnieje [[baza ortonormalna]] przestrzeni <math> V </math> złożona z wektorów własnych operatora <math> A </math>. Wystarczy wektory bazy ortogonalnej unormować (tzn. każdy wektor podzielić przez jego normę).
-# Endomorfizm <math> A </math> jest '''[[Endomorfizm diagonalizowalny|diagonalizowalny]]'''.
 == Ograniczone operatory normalne ==
@@ Linia 19: / Linia 18: @@
 === Uwagi ===
 * Miara spektralna <math> F </math> z powyższego twierdzenia jest nazywana ''rozkładem spektralnym operatora'' <math> T </math> lub  ''przedstawieniem spektralnym operatora'' <math> T .</math>
-* Dla wygody, często rozważa się miarę spektralną <math> F </math> jako zdefiniowaną dla wszystkich podzbiorów borelowskich <math> A </math> zbioru <math> \mathbb{C}. </math> Aby to uzyskać zdefiniujmy dodatkowo:
+* Dla wygody, często rozważa się miarę spektralną <math> F </math> jako zdefiniowaną dla wszystkich podzbiorów borelowskich <math> B </math> zbioru <math> \mathbb{C}. </math> Aby to uzyskać zdefiniujmy dodatkowo:
-:: <math> F(A) = 0 </math> jeżeli <math> A \cap \sigma(T) = \varnothing . </math>
+:: <math> F(B) = 0 </math> jeżeli <math> B \cap \sigma(T) = \varnothing . </math>
 == Zobacz też ==
 * [[mechanika kwantowa]]
 * [[obserwabla]]
+* [[endomorfizm diagonalizowalny]]
 * [[rozkład macierzy]]
+* [[diagonalizacja]]
 {{Przypisy}}