Liczba przeciwna: Różnice pomiędzy wersjami

Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Dodane 171 bajtów ,  13 lat temu
m
drobne redakcyjne (najpierw wprowadzamy grupę, a potem nazywamy jej elementy liczbami?)
(drobne redakcyjne)
m (drobne redakcyjne (najpierw wprowadzamy grupę, a potem nazywamy jej elementy liczbami?))
:<math>a+(-a)=0\;</math>
gdzie <math>0\;</math> jest [[element zerowy|elementem zerowym]] działania [[dodawanie|dodawania]].
 
Z punktu widzenia [[algebra|algebry]] jest to pojęcie [[element odwrotny|elementu odwrotnego]] do danego wyrażone w terminologii addytywnej.
 
W szczególności:
* liczbą przeciwną do zera jest zero.
* liczbą przeciwną do przeciwnej jestdo dana''x'' jest liczba ''x''.
 
W zbiorach liczb [[liczby całkowite|całkowitych]], [[liczby wymierne|wymiernych]], [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] i [[liczby zespolone|zespolonych]] dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna. Zbiory te wraz z dodawaniem są bowiem w szczególnym przypadkiem tzw. [[grupa (matematyka)|grup]] – a jeden z aksjomatów grupy wymaga istnienia elementu odwrotnego do każdego elementu zbioru.
W zbiorach liczb [[liczby naturalne|naturalnych]], oraz w [[klasa (matematyka)|klasach]] [[liczby kardynalne|liczb kardynalnych]] i [[liczby porządkowe|porządkowych]] nie jest to już prawda – liczby ujemne nie należą do zbioru liczb naturalnych, a dla nieskończonych liczb kardynalnych i porządkowych liczby przeciwne w ogóle nie są zdefiniowane, o ile nie wprowadzimy ich sztucznie, np. tak jak w [[liczby nadrzeczywiste|liczbach nadrzeczywistych]].
 
== Uogólnienie na grupy uporządkowane ==
Jeżeli w grupie jest określony porządek liniowy <math>\leqslant</math> spełniający
Z punktu widzenia [[algebra|algebry]] jest to pojęcie [[element odwrotny|elementu odwrotnego]] do danego wyrażone w terminologii addytywnej.
 
Jeżeli w [[grupa (matematyka)grupie]] jest określony [[porządek liniowy]] <math>\leqslant</math> spełniający
:<math>a \leqslant b \implies a + c \leqslant b + c</math>
to
*liczby niezerowe,elementy dla których <math>a \leqslant 0</math>, nazywamy ujemnyminiedodatnimi
*liczby niezerowe,elementy dla których <math>0 \leqslant a</math>, nazywamy dodatniminieujemnymi
*elementy niedodatnie niezerowe nazywamy ujemnymi
*elementy nieujemne niezerowe nazywamy dodatnimi
Takimi grupami są wspomniane wyżej grupy liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych (ale nie zespolonych).
 
Wówczas, jak łatwo sprawdzić:
*liczbaelement przeciwnaprzeciwny do dodatniejdodatniego jest ujemnaujemny
*liczbaelement przeciwnaprzeciwny do ujemnejujemnego jest dodatniadodatni
 
Warto wspomnieć jeszcze, że np. grupach z dodawaniem [[arytmetyka modulo|modulo]] n gdzie n jest parzyste istnieją elementy niezerowe, które są przeciwne do samych siebie.
 
 
{{stub}}
 
== Zobacz też ==
* [[arytmetyka]]
* [[liczba odwrotna]]

Menu nawigacyjne