Zbieżność prawie wszędzie: Różnice pomiędzy wersjami

Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
WP:SK, redakcyjne, merytoryczne, źródło, int., poprawa linków
(→‎Definicja: drobne merytoryczne)
(WP:SK, redakcyjne, merytoryczne, źródło, int., poprawa linków)
'''Zbieżność prawie wszędzie''' ciągu funkcji względem (pewnej) [[miara (matematyka)|miary]] to rodzaj zbieżności [[ciąg funkcyjny|ciągów funkcyjnych]] rozważany w [[teoria miary|teorii miary]] i [[analiza matematyczna|analizie matematycznej]]. Pojęcie to pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W [[teoria prawdopodobieństwa|teorii prawdopodobieństwa]] i [[statystyka|statystyce]] znane jest ono pod nazwą '''zbieżność z prawdopodobieństwem 1''' lub '''prawie na pewno'''.
 
== Definicja ==
;=== Teoria miary ===
Niech <math> (X,\mathfrak{M},\mu) </math> będzie [[Przestrzeń mierzalna|przestrzenią mierzalną]] zoraz [[Miara (matematyka)|miarą]] (tak więc w szczególnościniech <math> \mu \colon \mathfrak{M} \longrightarrow [0,\infty] </math>) orazbędzie niech[[Miara (matematyka)|miarą]]. Niech <math> (Y,d) </math> będzie [[Przestrzeń metryczna|przestrzenią metryczną]]. Przypuśćmy, że <math> A\in\mathfrak{M} </math> oraz <math> f_n, f \colon A \longrightarrow Y </math>.
 
Mówimy, że ciąg <math> (f_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> jest '''prawie wszędzie zbieżny do funkcji''' <math> f </math> (względem miary <math> \mu </math> na zbiorze <math> A </math>), wtedy i tylko wtedy, gdy można znaleźćistnieje zbiór mierzalny podzbiór <math> B</math> zbioru\subset <math>A</math>, który jest miary zero, tzn. <math>\mu(B) = 0 </math> oraz taki, że
: <math> \lim_{n\to\infty} f_n(x) = f(x) </math> dla wszystkich <math> x\in A \setminus B . </math>.
 
Formułując tę definicję inaczej, powiemy że ciągCiąg funkcji <math> (f_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> jest więc zbieżny prawie wszędzie zbieżny do funkcji ''<math> f'' </math>, jeśli jest on [[Zbieżność punktowa ciągu funkcji|zbieżny punktowo]] do funkcji ''f'' ''poza zbiorem miary <math>\mu f </math> poza zbiorem miary zero''.
 
=== Teoria prawdopodobieństwa ===
;Statystyka
Niech <math> ( \Omega, \mathcal{F}, P ) </math> będzie [[Przestrzeń probabilistyczna|przestrzenią probabilistyczną]].
W statystyce, rozważamy '''zbieżność z prawdopodobieństwem 1''' dla ciągów ciąg [[zmienna losowa|zmiennych losowych]] <math>X_n</math>. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych <math>\{X_n\}_{n\in {\mathbb N}}</math> '''dąży z prawdopodobieństwem <math>1</math>''' do zmiennej losowej <math>X</math>, przy <math>n</math> dążącym do nieskończoności, jeśli <math>P\{\omega:X_{n}(\omega)\to X(\omega)\}= 1\,</math>. Jest to więc to samo pojęcie co zdefiniowane w języku miary powyżej.
 
; Przypadek jednowymiarowy:
==Własności==
Niech <math> X, X_1, X_2,... : \Omega \to \mathbb{R} </math> będą [[Zmienna losowa|zmiennymi losowymi]]. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych <math> (X_n)_{n\in {\mathbb N}} </math> jest ''zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno)'' do zmiennej <math> X </math>, jeżeli
* Każdy ciąg [[zbieżność prawie jednostajna|zbieżny prawie jednostajnie]] jest zbieżny prawie wszędzie
: <math>P \left( \{ \omega \in \Omega : \lim\limits_{n \to \infty} X_{n}(\omega) = X(\omega) \} \right) = 1 . </math>
* Jeśli miara <math>\mu</math> jest [[Miara półskończona|&sigma;-skończona]] oraz ciąg <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> jest <math>\mu</math>-prawie wszędzie zbieżny do funkcji <math>f</math>, to ciąg ten jest zbieżny [[Zbieżność według miary|według miary]] (do tej samej funkcji).
 
* W szczególności, jeśli ciąg zmiennych losowych określonych na danej [[Przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 to jest on [[zbieżność według prawdopodobieństwa|zbieżny według prawdopodobieństwa]].
; Przypadek wielowymiarowy:
Niech <math> X, X_1, X_2,... : \Omega \to \mathbb{R}^s </math> będą wektorami losowymi. Mówimy, że ciąg wektorów losowych <math> (X_n)_{n\in {\mathbb N}} </math> jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do wektora <math> X </math>, jeżeli
: <math> \bigwedge\limits_{\delta > 0 } \ \lim\limits_{n \to \infty} P \left( \bigcap\limits_{k=n}^{\infty} \{ \omega \in \Omega : || X_k(\omega) - X(\omega) || < \delta \} \right) = 1 , </math>
gdzie <math> || \cdot || : \mathbb{R}^s \to [0, \infty) </math> oznacza [[Przestrzeń unormowana|normę euklidesową]] w <math> \mathbb{R}^s . </math>
 
== Uwagi ==
* Pojęcie zbieżności z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) jest odpowiednikiem zbieżności prawie wszędzie. W rachunku prawdopodobieństwa i statystyce terminy te są stosowane zamiennie.
* Zdanie: „ciąg <math> (f_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji <math> f </math>”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko:
:: <math> f_n \xrightarrow[]{p.w.} f </math>
 
== Własności ==
* Każdy ciąg [[zbieżność prawie jednostajna|zbieżny prawie jednostajnie]] jest zbieżny prawie wszędzie.
* Jeśli miara <math>\mu</math> jest [[Miaramiara półskończonaσ-skończona|&sigma;σ-skończona]] oraz ciąg <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> jest <math>\mu</math>-prawie wszędzie zbieżny do funkcji <math>f</math>, to ciąg ten jest zbieżny [[Zbieżność według miary|według miary]] (do tej samej funkcji). W szczególności, jeśli ciąg zmiennych losowych określonych na danej [[Przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 to jest on [[Zbieżność według prawdopodobieństwa|zbieżny według prawdopodobieństwa]].
 
== Zobacz też ==
* [[Warunek Cauchy'egozbieżność według miary]]
*[[Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej]]
* [[zbieżność według rozkładu]]
*[[Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej]]
* [[Twierdzenietwierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej]]
*[[Warunek Cauchy'ego według miary]]
* [[Twierdzenietwierdzenie Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej]]
 
== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę | nazwisko = Bartoszewicz | imię = Jarosław | tytuł = Wykłady ze statystyki matematycznej | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] | miejsce = Warszawa | rok = 1989 | strony = 52 | isbn = 83-01-09054-5 }}
 
[[Kategoria:Ciągi funkcyjne]]
[[Kategoria:Granice]]
[[kategoriaKategoria:Teoria miary]]
[[Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa]]
1426

edycji

Menu nawigacyjne