Dokladna dyskretyzacja czasami może nie być trudna z uwagi na dużą eksponentę macierzy i związane z tym operacje całkowania. Znacznie łatwiej wyliczyć, w oparciu o nią, przybliżony model dyskretny dla małych kroków czasowych <math>e^{\mathbf AT} \approx \mathbf I + \mathbf A T</math>. Przybliżone rozwiązanie przyjmuje wówczas postać:
Dokładna dyskretyzacja czasami może nie być trudna z uwagi na dużą [[eksponenta macierzy|eksponentę macierzy]] i związane z tym operacje całkowania. Znacznie łatwiej wyliczyć, w oparciu o nią, przybliżony model dyskretny dla małych kroków czasowych <math>e^{\mathbf AT} \approx \mathbf I + \mathbf A T</math>. Przybliżone rozwiązanie przyjmuje wówczas postać:
:<math>\mathbf x[k+1] \approx (\mathbf I + \mathbf AT) \mathbf x[k] + (\mathbf I T + \frac{1}{2} \mathbf A T^2 ) \mathbf B \mathbf u[k] </math>
:<math>\mathbf x[k+1] \approx (\mathbf I + \mathbf AT) \mathbf x[k] + (\mathbf I T + \frac{1}{2} \mathbf A T^2 ) \mathbf B \mathbf u[k] </math>
co można dalej aproksymować jeśli <math>\frac{1}{2} \mathbf A T^2</math> jest małe; co daje:
co można dalej aproksymować jeśli <math>\frac{1}{2} \mathbf A T^2</math> jest małe; co daje:
Wersja z 11:29, 21 lip 2011
W matematycedyskretyzacja dotyczy procesu transformowania modeli i równań funkcji ciągłych na ich dyskretne odpowiedniki. Jest to zwykle pierwszy krok w procesie przygotowywania tych modeli (i równań) do ewaluacji numerycznej i implementacji na komputerach cyfrowych. Do przetwarzania na komputerze cyfrowym ponadto potrzebne jest wykonanie kwantyzacji.
Szczególnie istotne są tu dwie metody dyskretyzacji:
dyskretyzacja Eulera
dyskretyzacja ekstrapolatorem rzędu zerowego (ang. ZOH, Zero-order hold).
Dyskretyzacja związana jest także z matematyką dyskretną i jest ważną częścią (komputerowych) obliczeń ziarnistych (ang. granular computing) stosowanych w mechanice komputerowej. W tym kontekście dyskretyzacja odnosi się także do modyfikacji zmiennej w kategorii ziarnistości gdy agreguje się wiele zmiennych dyskretnych albo dokonuje się fuzji wielu kategorii dyskretnych.
Dyskretyzacja modelu układu liniowego w przestrzeni stanów
Zręczne wyliczenie i w jednym kroku można wykonać korzystając z następującej własności:
i wówczas mając:
Dyskretyzacja szumu procesu
Numeryczna ewaluacja jest nieco bardziej złożona z uwagi na całkę eksponenty macierzy. Można ją, jednakże, wyliczyć poprzez skonstruowanie najpierw macierzy a następnie wyliczenie na komputerze jej eksponenty:
Zdyskretyzowany szum procesu jest wówczas wyliczany poprzez przemnożenie transponowanej dolnej, prawej partycji macierzy G z górną, prawą partycją macierzy G:
i przez wcześniejsze przemnożenie modelu uzyskuje się:
co zapisać można jako
a następnie całkując:
co jest rozwiązaniem analitycznym dla modelu ciągłego.
Teraz należy zdyskretyzować powyższe wyrażenie. Można przyjąć, że jest stała podczas każdego kroku czasowego.
Wyrażenie w nawiasie można zapisać jako a drugie wyrażenie można uprościć przez podstawienie . Ponadto można przyjąć, że jest stałe podczas całkowania, co z koleii daje:
co stanowi dokładne rozwiązanie dyskretyzowanego problemu.
Aproksymacje
Dokładna dyskretyzacja czasami może nie być trudna z uwagi na dużą eksponentę macierzy i związane z tym operacje całkowania. Znacznie łatwiej wyliczyć, w oparciu o nią, przybliżony model dyskretny dla małych kroków czasowych . Przybliżone rozwiązanie przyjmuje wówczas postać:
co można dalej aproksymować jeśli jest małe; co daje:
Inne możliwe aproksymacje to: i . Każda z nich ma inne własności związane ze stabilnością. Ostatnia znana jest jako transformacja Tustina (transformacja bilinearna) i zachowuje stabilność lub odpowiednio niestabilność układu czasu ciągłego.
W statystyce i w uczeniu maszynowym termin dyskretyzacja odnosi się do procesu konwersji ciągłych własności lub zmiennych na zdyskretyzowane lub nominalne własności. Może to być użyteczne przy tworzeniu masowych funkcji prawdopodobieństwa.