Zdarzenia losowe niezależne: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
:) |
m Wycofano edycje użytkownika 95.178.69.116 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to Luckas-bot. |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
'''Zdarzenia losowe niezależne''' - [[Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)|zdarzenia]] <math>A, B \in \mathcal{A} </math> na pewnej ustalonej [[przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] <math>(\Omega, \mathcal{A}, P)</math> spełniające warunek |
|||
'''Zdarzenia losowe niezależne''' - |
|||
: <math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)</math>. |
|||
Taka postać warunku na niezależność zdarzeń <math>A</math> i <math>B</math> wynika z intuicyjnego stwierdzenia: zdarzenie <math>A</math> nie zależy od zdarzenia <math>B</math>, jeśli wiedza nt. zajścia <math>B</math> nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia <math>A</math>. Co można zapisać jako <math>P(A|B)=P(A)\;</math>. Z tej intuicji i [[Prawdopodobieństwo warunkowe|wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń]] (<math>P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)</math>) wynika powyższy wzór. |
|||
Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli <math>A_1, \ldots, A_m\in \mathcal{A}</math>, to mówimy, że są one '''niezależne''', gdy dla każdego ściśle rosnącego ciągu <math>(i_1, \ldots, i_k)</math> o wyrazach ze zbioru <math>\{1,\ldots, m\}</math> spełniony jest warunek |
|||
: <math> P(A_{i_{1}} \cap ... \cap A_{i_{k}})=P(A_{i_{1}}) \cdot ... \cdot P(A_{i_{k}})</math>. |
|||
Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia <math>A_1, A_2,\ldots </math> są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej ''n'' zdarzenia <math>A_1, \ldots, A_n</math> są niezależne. |
|||
== Własności == |
|||
* Z definicji wynika, że dwa [[Zdarzenia losowe rozłączne|zdarzenia rozłączne]] są niezależne, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe. |
|||
* Gdy zdarzenia <math>A_1, \ldots, A_n</math> są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne <math> A_1^\prime, \ldots, A_n^\prime </math> też są niezależne oraz: |
|||
: <math>P\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right)= P\left( \left( \bigcap_{k=1}^n A_k^\prime \right)^\prime \right) = 1-P\left( \bigcap_{k=1}^n A_k^\prime \right) = 1-\prod_{k=1}^n P(A_k^\prime) = 1-\prod_{k=1}^n(1-P(A_k))</math>. |
: <math>P\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right)= P\left( \left( \bigcap_{k=1}^n A_k^\prime \right)^\prime \right) = 1-P\left( \bigcap_{k=1}^n A_k^\prime \right) = 1-\prod_{k=1}^n P(A_k^\prime) = 1-\prod_{k=1}^n(1-P(A_k))</math>. |
||
Por. [[prawa De Morgana]]. |
Por. [[prawa De Morgana]]. |
Wersja z 16:47, 23 kwi 2012
Zdarzenia losowe niezależne - zdarzenia na pewnej ustalonej przestrzeni probabilistycznej spełniające warunek
- .
Taka postać warunku na niezależność zdarzeń i wynika z intuicyjnego stwierdzenia: zdarzenie nie zależy od zdarzenia , jeśli wiedza nt. zajścia nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia . Co można zapisać jako . Z tej intuicji i wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń () wynika powyższy wzór.
Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli , to mówimy, że są one niezależne, gdy dla każdego ściśle rosnącego ciągu o wyrazach ze zbioru spełniony jest warunek
- .
Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej n zdarzenia są niezależne.
Własności
- Z definicji wynika, że dwa zdarzenia rozłączne są niezależne, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe.
- Gdy zdarzenia są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne też są niezależne oraz:
- .
Por. prawa De Morgana.
Niezależność σ-ciał
σ-ciała , gdzie dla nazywamy niezależnymi, gdy dla dowolnych
- .
Jeżeli , to przez rozumiemy σ-ciało generowane przez zdarzenie , tzn. najmniejsze σ-ciało zawierające zbiór . Dokładniej, dla
- .
Używając tych definicji, niezależność skończonej liczby zdarzeń można scharakteryzować w następujący sposób: zdarzenia są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy σ-ciała są niezależne.
Zobacz też
Bibliografia
- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004, s. 43-47.