Grupa przestrzenna: Różnice pomiędzy wersjami

Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Usunięte 30 bajtów ,  9 lat temu
m
drobne redakcyjne
m (→‎Notacje grup przestrzennych: drobne redakcyjne)
m (drobne redakcyjne)
'''Grupa przestrzenna''' - w [[Matematyka|matematyce]], [[Geometria|geometrii]] i [[Krystalografia|krystalografii]] jest to [[grupa symetrii]]. W [[Przestrzeń trójwymiarowa|przestrzeni trójwymiarowej]] zazwyczaj dzieli przestrzeń na powtarzalną [[Grupa dyskretna|grupę dyskretną]].
 
W przestrzeni trójwymiarowej istnieje 219 różnych typów grup przestrzennych (230 uwzględniając [[Symetria chiralna|chiralne]]). Grupy przestrzenne są badane i występują także w przestrzeniach o różnej ilości wymiarów. Za przykład mogą posłużyć [[Grupa Bieberbacha|grupy Bieberbacha]]<ref name=gp3/>.
 
W krystalografii spotyka się grupy określane mianem krystalograficznych grup przestrzennych lub grup Fiodorowa. Przedstawiają i opisują symetrie kryształów<ref name=gp2/>.
 
== Elementy grup przestrzennych ==
Grupy przestrzenne w trójwymiarowej przestrzeni powstały w wyniku połączenia 32 [[Krystalograficzne grupy punktowe|krystalograficznych grup punktowych]] z 14 [[Układ krystalograficzny#Sieć Bravais'go|sieciami Bravais'goBravais’go]] należących do jednego z 7 [[Układ krystalograficzny|układów krystalograficznych]]. Z tego powodu grupy przestrzenne uwzględniają kombinacje [[Translacja (matematyka)|translacji]] [[Sieć krystaliczna|komórki elementarnej]] i operacji wykonywanych na grupach punktowych.
 
== Notacje grup przestrzennych ==
Istnieje co najmniej dziewięć sposobów określania grup przestrzennych:
 
* numeryczna - [[Międzynarodowa Unia Krystalografii]] (IUCr) publikuje tabele wszystkich typów grup przestrzennych i przypisuje każdej unikalnyunikatowy numer od 1 do 230. Grupy przestrzenne tych samych układów krystalograficznych i grup punktowych przydzielone mają kolejne numery.
 
* międzynarodowa (M, [[notacja Hermanna–Mauguina]]) - składa się z dużej litery oznaczającej typ sieci Bravais'goBravais’go, z liczb oznaczających osie symetrii zwykłe, [[Inwersja (geometria)|inwersyjne]] lub śrubowe oraz z małych liter jako symboli płaszczyzn symetrii i [[Poślizg (krystalografia)|poślizgu]]. Znając reguły składania elementów symetrii możliwe jest przedstawienie rozmieszczenia elementów symetrii w komórce elementarnej<ref name=gp1/>.
 
* [[notacja Halla]]<ref name=gp7/>
 
* [[notacja Kreutza-Zaremby]] - za twórcze elementy symetrii przyjmuje się osie i środek symetrii. W symbolach klas opuszcza się płaszczyzny symetrii, jeżeli wynikają one z iloczynu osi parzystokrotnych i środka symetrii.
 
* [[notacja Schonfliesa]] - składa się z dużej litery C, D, S, T, O określającej rodzaj grupy obrotowej oraz z dolnych indeksów informujących o krotności głównej osi symetrii (n), rodzaju płaszczyzny symetrii (v, h, d) i o istnieniu środka symetrii (i). Z takich symboli nie można określić typu sieci Bravais'goBravais’go i wszystkich elementów symetrii grupy<ref name=gp1/>.
 
* [[symbol Shubnikova]]
 
* [[notacja orbifold]] dla dwuwymiarowej przestrzeni i [[notacja fibrifold]] dla trójwymiarowej przestrzeni - twory matematyczne wprowadzone przez [[John Horton Conway|Conwaya]] i [[William Thurston|Thurstona]]. Niektórym grupom przestrzennym można przyporządkować symbole [[orbifold]]ów i [[fibrifold]]ów<ref name=gp8/>.
 
* [[notacja Coxetera]] – przestrzenna i punktowa grupa symetrii przedstawiona w postaci [[Grupa Coxetera|grup Coxetera]].
Istnieje co najmniej 10 różnych możliwości klasyfikowania grup przestrzennych w przestrzeni trójwymiarowej. Skatalogowane są w tabeli od postaci najbardziej szerokiej, aż do wąskich klas na samym dole:
 
{| class=wikitable style="text-align:center"
|colspan=2|'''Krystalograficzne grupy przestrzenne''' (230 klas)
|-
|-
|'''Klasy kryształów''' (32 klasy)
|'''Grupa punktowa sieci Bravais'goBravais’go''' (14 klas)
|-
|'''[[Układ krystalograficzny]]''' (7 klas)
|'''[[Układ krystalograficzny#Sieć Bravais'go|Sieć Bravais'goBravais’go]]''' (7 klas)
|-
|colspan=2|'''[[Rodziny kryształów]]''' (6 klas)
 
== Grupa przestrzenna w 3 wymiarach ==
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|-
!rowspan=2 width=60|
!rowspan=2|[[Układ krystalograficzny]] ||rowspan=1 colspan=2|[[Grupy punktowe]] ||rowspan=2 | '''Grupy przestrzenne'''
|-
![[Notacja Hermanna–Mauguina|M]] || [[Notacja Schonfliesa|Schonflies]]
|- bgcolor=#ffffff
! 1
|rowspan=2|[[Układ trójskośny|trójskośny]] (2)
| <math>C_{i}</math>
| <math>{P\overline{1}}</math>
|-
! 3–5
|rowspan=3|[[Układ jednoskośny|jednoskośny]] (13)
| <math>2</math>
| <math>C_{2}</math>
| <math>P2, P2_{1}, C2</math>
|-
! 6–9
| <math>m</math>
| <math>C_{s}</math>
| <math>Pm, Pc, Cm, Cc</math>
|-
! 10–15
| <math>2/m</math>
| <math>C_{2h}</math>
| <math>P2/m, P2_{1}/m, C2/m, P2/c, P2_{1}/c, C2/c</math>
|-bgcolor=#ffffff
! 16–24
|rowspan=3|[[Układ rombowy|rombowy]] (59)
| <math>222</math>
| <math>D_{2}</math>
| <math>P222, P222_{1}, P2_{1}2_{1}2, P2_{1}2_{1}2_{1}, C222_{1}, C222, F222, I222, I2_{1}2_{1}2_{1}</math>
|- bgcolor=#ffffff
! 25–46
| <math>mm2</math>
| <math>C_{2v}</math>
| <math>Pmm2, Pmc2_{1}, Pcc2, Pma2, Pca2_{1}, Pnc2, Pmn2_{1}, Pba2, Pna2_{1}, Pnn2,</math><br /><math>Cmm2, Cmc2_{1}, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2, Fmm2, Fdd2, Imm2, Iba2, Ima2 </math>
|- bgcolor=#ffffff
! 47–74
| <math>mmm</math>
| <math>D_{2h}</math>
| <math>4</math>
| <math>C_{4}</math>
| <math>P4, P4_{1}, P4_{2}, P4_{3}, I4, I4_{1}</math>
|-
! 81–82
| <math>\bar{4}</math>
| <math>S_{4}</math>
| <math>P\bar{4}, I\bar{4}</math>
|-
! 83–88
| <math>4/m</math>
| <math>C_{4h}</math>
| <math>P4/m, P4_{2}/m, P4/n, P4_{2}/n, I4/m, I4_{1}/a </math>
|-
! 89–98
| <math>422</math>
| <math>D_{4}</math>
| <math>P422, P42_{1}2, P4_{1}22, P4_{1}2_{1}2, P4_{2}22, P4_{2}2_{1}2, P4_{3}22, P4_{3}2_{1}2, I422, I4_{1}22 </math>
|-
! 99–110
| <math>4mm</math>
| <math>C_{4v}</math>
| <math>P4mm, P4bm, P4_{2}cm, P4_{2}nm, P4cc, P4nc, P4_{2}mc, P4_{2}bc, I4mm, I4cm, I4_{1}md, I4_{1}cd </math>
|-
! 111–122
| <math>\bar{4}2m</math>
| <math>P\bar{4}2m, P\bar{4}2c, P\bar{4}2_{1}m, P\bar{4}2_{1}c, P\bar{4}m2, P\bar{4}c2, P\bar{4}b2, P\bar{4}n2, I\bar{4}m2, I\bar{4}c2, I\bar{4}2m, I\bar{4}2d </math>
|-
! 123–142
| <math>4/mmm</math>
| <math>D_{4h}</math>
|- bgcolor=#ffffff
! 143–146
| rowspan=5|[[Układ trygonalny|trygonalny]] (25)
| <math>3</math>
| <math>C_{3}</math>
| <math>P3, P3_{1}, P3_{2}, R3 </math>
|- bgcolor=#ffffff
! 147–148
| <math>\bar{3}</math>
| <math>S_{6}</math>
| <math>P\bar{3}, R\bar{3}</math>
|- bgcolor=#ffffff
! 149–155
| <math>32</math>
| <math>D_{3}</math>
| <math>P312, P321, P3_{1}12, P3_{1}21, P3_{2}12, P3_{2}21, R32</math>
|- bgcolor=#ffffff
! 156–161
| <math>3m</math>
| <math>C_{3v}</math>
| <math>P3m1, P31m, P3c1, P31c, R3m, R3c</math>
|- bgcolor=#ffffff
! 162–167
| <math>\bar{3}m</math>
|-
! 168–173
|rowspan=7| [[Układ heksagonalny|heksagonalny]] (27)
| <math>6</math>
| <math>C_{6}</math>
| <math>P6, P6_{1}, P6_{5}, P6_{2}, P6_{4}, P6_{3}</math>
|-
! 174
| <math>\bar{6}</math>
| <math>C_{3h}</math>
| <math>P\bar{6}</math>
|-
! 175–176
| <math>6/m</math>
| <math>C_{6h}</math>
| <math>P6/m, P6_{3}/m</math>
|-
! 177–182
| <math>622</math>
| <math>D_{6}</math>
| <math>P622, P6_{1}22, P6_{5}22, P6_{2}22, P6_{4}22, P6_{3}22 </math>
|-
! 183–186
| <math>6mm</math>
| <math>C_{6v}</math>
| <math>P6mm, P6cc, P6_{3}cm, P6_{3}mc </math>
|-
! 187–190
| <math>\bar{6}m2</math>
| <math>D_{3h}</math>
| <math>P\bar{6}m2, P\bar{6}c2, P\bar{6}2m, P\bar{6}2c</math>
|-
! 191–194
| <math>6/mmm</math>
|-bgcolor=#ffffff
! 195–199
| rowspan=5|[[Układ regularny|regularny]] (36)
| <math>23</math>
| <math>T</math>
== Linki zewnętrzne ==
* [http://www.iucr.org Międzynarodowa Unia Krystalograficzna (UICr)] {{lang|en}}
* [http://neon.mems.cmu.edu/degraef/pointgroups/ Grupy punktowe i sieci Bravais'goBravais’go] {{lang|en}}
* [http://cci.lbl.gov/cctbx/explore_symmetry.html Wyszukiwarka grup przestrzennych] {{lang|en}}
* [http://cst-www.nrl.navy.mil/lattice/spcgrp/ Spis grup przestrzennych] {{lang|en}}

Menu nawigacyjne