Gęstość stanów: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie

[wersja przejrzana]

← poprzednia edycja następna edycja →

Usunięta treść Dodana treść

WizualnieWikikod

Jednokolumnowy

Wersja z 17:27, 20 cze 2015

Gęstość stanów jest funkcją opisującą w mechanice kwantowej liczbę dostępnych stanów na jednostkę energii.

Jednym z prostszych modeli opisujących zachowanie się elektronów jest model prawie swobodnych elektronów (NFE - nearly free electron). Zakłada on, że elektron przewodnictwa można potraktować jako cząstkę swobodną, poruszającą się w periodycznym potencjale wytworzonym przez jądra atomowe oraz elektrony rdzenia, nie posiadające swobody. Wpływ potencjału na elektron można opisać używając tensora masy efektywnej:

${\frac {1}{\hbar }}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {1}{M_{ij}}},$

który, gdy jest symetryczny przechodzi w masę efektywną oznaczaną jak m*.

Wyprowadzenie gęstości stanów dla przypadku niżej wymiarowego wymaga uwzględnienia zachowania informacji o kwantowaniu energii w pozostałych wymiarach. Funkcje gęstości stanów, dla przybliżenia NFE, w krysztale o równych stałych sieciowych (L) wyglądają następująco:

0D - $\rho (E)=2\sum \limits _{n_{x},n_{y},n_{z}}\delta (E-E_{n_{x},n_{y},n_{z}})$

1D - $\rho (E)={\frac {{\sqrt {2m^{*}}}L}{2\pi \hbar }}\sum \limits _{n_{y},n_{z}}{\frac {\Theta (E-E_{n_{y},n_{z}})}{\sqrt {E-E_{n_{y},n_{z}}}}}$

2D - $\rho (E)={\frac {L^{2}m^{*}}{2\pi \hbar ^{2}}}\sum \limits _{n_{z}}\Theta (E-E_{n_{z}})$

3D - $\rho (E)={\frac {L^{3}}{(2\pi )^{2}}}({\frac {2m^{*}}{\hbar ^{2}}})^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E}}$

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-'''Gęstość stanów''' jest funkcją opisującą w [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]] na ile sposobów cząstka może posiadać daną energię. Iloczyn <math>\rho (E) dE</math> opisuje liczbę stanów energetycznych w przedziale (E, E+dE).
+'''Gęstość stanów''' jest funkcją opisującą w [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]] liczbę dostępnych stanów na jednostkę energii.
+Jednym z prostszych modeli opisujących zachowanie się elektronów jest model prawie swobodnych elektronów (''NFE'' - ''nearly free electron).'' Zakłada on, że elektron przewodnictwa można potraktować jako cząstkę swobodną, poruszającą się w periodycznym potencjale wytworzonym przez jądra atomowe oraz elektrony rdzenia, nie posiadające swobody. Wpływ potencjału na elektron można opisać używając tensora masy efektywnej:
-W fizyce klasycznej cząstka o danej energii E posiada prędkość określoną jako
-:<math>v = \sqrt{ \frac{2E}{m} }</math>
-Wektor prędkości może być skierowany w dowolnym kierunku, więc dla danej energii istnieje nieskończenie wiele możliwych kierunków ruchu, czyli <math>\rho (E) \equiv \infty</math>. W mechanice kwantowej sytuacja jest bardziej skomplikowana - [[funkcja falowa]] ma zwykle ściśle określone [[warunki brzegowe]], lub warunki periodyczności, np. dla cząstki zamkniętej w sześciennym pudełku wymagamy, aby funkcja falowa znikała na ścianach pudełka. Należy uwzględnić iż funkcja falowa zanika na ścianach tylko wtedy kiedy mamy do czynienia z nieskończonym potencjałem na ściankach, przy skończonych wartościach funkcja falowa wnika w barierę i wtedy warunkiem brzegowym jest ciągłość oraz ciągłość pierwszej pochodnej (gładkość) na granicy pudełko-bariera.
+<math>\frac{1}{\hbar}\frac{\partial^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j} }=\frac{1}{M_{ij}},</math>
-Funkcje gęstości stanów:
+który, gdy jest symetryczny przechodzi w masę efektywną oznaczaną jak m*.
-'''1D''' - <math>\rho(E) = \frac{ \sqrt{m} L }{ \sqrt{2} \hbar} \frac{1}{ \sqrt{E} }</math>
+Wyprowadzenie gęstości stanów dla przypadku niżej wymiarowego wymaga uwzględnienia zachowania informacji o kwantowaniu energii w pozostałych wymiarach. Funkcje gęstości stanów, dla przybliżenia NFE, w krysztale o równych stałych sieciowych (''L'') wyglądają następująco:
-'''2D''' - <math>\rho(E) = \frac{ 2\pi m L ^{2} } {\hbar ^{2} }</math>
-'''3D''' - <math>\rho(E) = \frac{ 2\pi (2m) ^{ \frac{3}{2} } L ^ 3 }{\hbar ^{3}} \sqrt{E}</math>
+'''0D''' - <math>\rho (E) = 2\sum\limits_{n_x,n_y,n_z} \delta (E-E_{n_x,n_y,n_z})</math>
+'''1D''' - <math>\rho(E) = \frac{\sqrt{2m^*}L}{2\pi\hbar}\sum\limits_{n_y,n_z}\frac{\Theta(E-E_{n_y,n_z})}{\sqrt{E-E_{n_y,n_z}}}</math>
+'''2D''' - <math>\rho(E) = \frac{L^2m^*}{2\pi\hbar^2}\sum\limits_{n_z}\Theta(E-E_{n_z})</math>
+'''3D''' - <math>\rho(E) = \frac{L^3}{(2\pi)^2}(\frac{2m^*}{\hbar^2})^\frac{3}{2} \sqrt{E}</math>
 [[Kategoria:Mechanika kwantowa]]