Wnętrze (matematyka)

Wnętrze zbioru (figury, bryły) F – w geometrii lub topologii oznacza zbiór tych punktów przestrzeni, które należą do zbioru F wraz z pewnym swoim otoczeniem. Wnętrze zbioru F oznaczamy Int(F), int(F) lub F^o. Punkty należące do wnętrza zbioru nazywamy punktami wewnętrznymi zbioru.

Plik:Otoczenia.png

Na rysunku punkt W jest punktem wewnętrznym figury.

Własności

Z definicji wnętrza zbioru wynikają bezpośrednio poniższe jego własności.

1. Wnętrze jest otwartym podzbiorem F.
2. Wnętrze jest sumą wszystkich otwartych podzbiorow F.
3. Wnętrze jest największym zbiorem otwartym zawartym w F.
4. Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtegy, gdy jest swoim własnym wnętrzem.
5. int(int(S)) = int(S).
6. Jeżeli S jest podzbiorem F, to int(S) jest podzbiorem int(F).
7. int(S∩F)=int(S)∩int(F)
8. Jeżeli S jest zbiorem otwartym, to S jest podzbiorem F wtedy i tylko wtedy, gdy S jest podzbiorem int(F).

Wnętrze zbioru zależy od topologii – jeżeli na przestrzeni dane są dwie różne topologie, to jeden i ten sam zbiór punktów może być wnętrzem w jednej topologii, a w innej już nie.

Zauważmy też, że w przestrzeni metrycznej punkt p zbioru F jest puntktem wewnętrznym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje kula o środku w punkcie p całkowicie zawarta w zbiorze F.

Operacja wnętrza a topologia

Jeżeli operację brania wnętrza zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia warunki 5, 6, 7 oraz warunek int(X)=X, gdzie X oznacza całą przestrzeń, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii w zbiorze X.

Przykłady

• W dowolnej przestrzeni wnętrze zbioru pustego jest zbiorem pustym, a wnętrzem całej przestrzeni jest przestrzeń.
• W przestrzeni dyskretnej każdy zbiór jest swoim wnętrzem.
• Niech R oznacza zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią. Wówczas:
  • wnętrzem przedziału domkniętego [a, b] jest przedział otwarty (a, b)
  • wnętrzem przedziału [a, b) jest przedział (a, b)
  • wnętrzem zbioru skończonego jest zbiór pusty
  • wnętrzem zbioru liczb wymiernych jest zbiór pusty
  • wnętrzem zbioru liczb niewymiernych także jest zbiór pusty
  • zbiór ma niepuste wnętrze wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pewien przedział.

Zobacz też: zewnętrze, brzeg.