Funkcja ograniczona

Ilustracja funkcji ograniczonej (czerwona) i nieograniczonej (niebieska). Dla funkcji ograniczonej da się znaleźć linię poziomą, której wykres nie przekracza, a dla funkcji nieograniczonej taka linia nie istnieje.

Funkcja ograniczona – funkcja, której wszystkie wartości należą do pewnego przedziału ograniczonego.

Funkcją nieograniczoną nazywa się funkcję, która nie jest ograniczona. Równoważnie: jest to funkcja, której zbiór wartości nie zawiera się w żadnym przedziale.

Ograniczoność z góry i z dołu

Funkcję nazwiemy ograniczoną z góry, jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnej ustalonej liczby. Podobnie funkcja jest ograniczona z dołu, jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnej ustalonej liczby. Zatem funkcja jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu.

Ciągi ograniczone

Ponieważ każdy ciąg jest funkcją, zatem pojęcie ograniczoności funkcji przenosi się w oczywisty sposób na ciągi. Każdy zbieżny ciąg liczbowy jest ograniczony.

Topologia i analiza funkcjonalna

Funkcję o wartościach w przestrzeni metrycznej nazywamy ograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości zawiera się w pewnej kuli. Analogicznie, funkcję nazywamy nieograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje kula, w której zawiera się zbiór wartości funkcji.

Funkcję o wartościach w przestrzeni liniowo-topologicznej nazywamy ograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej wartości jest zbiorem ograniczonym. Gdy przestrzeń liniowo-topologiczna jest metryzowalna, to obie definicje są równoważne.

Przykłady

• Funkcje sinus i cosinus są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału $[-1,1]$.
• Funkcje $f(x)=x,\;g(x)=x^{2}$ są nieograniczone. Funkcja kwadratowa $g(x)=x^{2}$ jest jednak ograniczona z dołu. Ogólnie, wszystkie wielomiany stopnia niezerowego i różne od wielomianu zerowego są nieograniczone.
• Ciąg $1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{5}},\dots$ jest ograniczony, gdyż wszystkie jego wyrazy należą do przedziału $(0,1]$.
• Ciąg $1,2,3,4,\dots$ choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony z góry, zatem jest nieograniczony.
• Ciąg $-1,-3,-5,-7,\dots$ nie jest ograniczony z dołu, natomiast posiada ograniczenie górne.
• odległość punktów (w ogólności metryka), długość wektora (w ogólności norma) – funkcje ograniczone z dołu (przez zero), ale nie z góry.
• długość krzywej (np. obwód figury), pole powierzchni i objętość – przykłady miary, która z definicji jest ograniczona z dołu przez zero,
• prawdopodobieństwo – miara ograniczona z góry przez jeden.