Diagram przemienny: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
drobne redakcyjne |
|||
Linia 1: | Linia 1: | ||
'''Diagram przemienny''' – w [[matematyka|matematyce]], a szczególnie jej dziale nazywanym [[teoria kategorii|teorią kategorii]], [[diagram (teoria kategorii)|diagram]] składający się z obiektów (nazywanych również ''wierzchołkami'') i [[ |
'''Diagram przemienny''' – w [[matematyka|matematyce]], a szczególnie jej dziale nazywanym [[teoria kategorii|teorią kategorii]], [[diagram (teoria kategorii)|diagram]] składający się z obiektów (nazywanych również ''wierzchołkami'') i [[Kategoria (matematyka)|morfizmów]] (znanych także jako ''strzałki'' lub ''krawędzie''), w którym wybranie dowolnej drogi skierowanej między dwoma jego obiektami prowadzi do tego samego wyniku ze względu na [[kategoria (matematyka)|składanie]] morfizmów. Diagramy przemienne odgrywają w teorii kategorii rolę analogiczną do [[równanie|równań]] w [[algebra|algebrze]]. |
||
== Przykłady == |
== Przykłady == |
||
W następującym przykładzie przedstawiającym [[pierwsze twierdzenie o izomorfizmie]] przemienność oznacza, że <math>f = \tilde{f} \circ \pi</math> |
W następującym przykładzie przedstawiającym [[Twierdzenie o izomorfizmie|pierwsze twierdzenie o izomorfizmie]] przemienność oznacza, że <math>f = \tilde{f} \circ \pi{:}</math> |
||
: [[Plik:First isomorphism theorem (plain).svg|175px]] |
: [[Plik:First isomorphism theorem (plain).svg|175px]] |
||
Niżej znajduje się standardowy kwadrat przemienny, w którym <math>h \circ f = k \circ g</math> |
Niżej znajduje się standardowy kwadrat przemienny, w którym <math>h \circ f = k \circ g.</math> |
||
: [[Plik:Commutative square.svg|150px]] |
: [[Plik:Commutative square.svg|150px]] |
||
=== Symbole === |
=== Symbole === |
||
W tekstach algebraicznych rodzaj [[ |
W tekstach algebraicznych rodzaj [[Kategoria (matematyka)|morfizmu]] może być oznaczony różnymi typami strzałek: [[monomorfizm]]y za pomocą <math>\hookrightarrow,</math> [[epimorfizm]]y za pomocą <math>\twoheadrightarrow,</math> a [[izomorfizm]]y za pomocą <math>\overset{\sim}{\to}.</math> Przerywana strzałka zwykle oznacza, że w danym diagramie postuluje się istnienie wskazanego morfizmu. Jest to na tyle popularne, że w tekstach nie tłumaczy się rodzajów strzałek. |
||
== Sprawdzanie przemienności == |
== Sprawdzanie przemienności == |
||
Przemienność ma sens dla [[ |
Przemienność ma sens dla [[Wielokąt|wieloboku]] dowolnej skończonej liczbie boków (włączając w to nawet 1 i 2), a diagram jest przemienny, jeżeli każdy poddiagram wieloboczny jest przemienny. |
||
== Dowodzenie == |
== Dowodzenie == |
||
Popularną metodą [[dowód (matematyka)|dowodzenia]], szczególnie w [[algebra homologiczna|algebrze homologicznej]], jest tzw. ''diagram chasing'' (ściganie [elementów] po diagramie). Dla danego diagramu przemiennego „dowód przez ściganie” polega na formalnym wykorzystaniu jego własności, takich jak [[funkcja różnowartościowa|iniektywność]], czy [[funkcja „na”|suriektywność]] przekształceń albo [[Ciąg dokładny |
Popularną metodą [[dowód (matematyka)|dowodzenia]], szczególnie w [[algebra homologiczna|algebrze homologicznej]], jest tzw. ''diagram chasing'' (ściganie [elementów] po diagramie). Dla danego diagramu przemiennego „dowód przez ściganie” polega na formalnym wykorzystaniu jego własności, takich jak [[funkcja różnowartościowa|iniektywność]], czy [[funkcja „na”|suriektywność]] przekształceń albo [[Ciąg dokładny|ciągi dokładne]]. W wyniku tego postępowania konstruuje się [[sylogizm]], dla którego graficzne przedstawienie w postaci diagramu jest tylko pomocą wzrokową. Nazwa ma swoje źródło w metodzie dowodzenia: „ściga” się elementy po całym diagramie, aż skonstruuje się upragniony element lub sprawdzi poprawność wyniku. |
||
== Linki zewnętrzne == |
== Linki zewnętrzne == |
Wersja z 13:00, 25 kwi 2019
Diagram przemienny – w matematyce, a szczególnie jej dziale nazywanym teorią kategorii, diagram składający się z obiektów (nazywanych również wierzchołkami) i morfizmów (znanych także jako strzałki lub krawędzie), w którym wybranie dowolnej drogi skierowanej między dwoma jego obiektami prowadzi do tego samego wyniku ze względu na składanie morfizmów. Diagramy przemienne odgrywają w teorii kategorii rolę analogiczną do równań w algebrze.
Przykłady
W następującym przykładzie przedstawiającym pierwsze twierdzenie o izomorfizmie przemienność oznacza, że
Niżej znajduje się standardowy kwadrat przemienny, w którym
Symbole
W tekstach algebraicznych rodzaj morfizmu może być oznaczony różnymi typami strzałek: monomorfizmy za pomocą epimorfizmy za pomocą a izomorfizmy za pomocą Przerywana strzałka zwykle oznacza, że w danym diagramie postuluje się istnienie wskazanego morfizmu. Jest to na tyle popularne, że w tekstach nie tłumaczy się rodzajów strzałek.
Sprawdzanie przemienności
Przemienność ma sens dla wieloboku dowolnej skończonej liczbie boków (włączając w to nawet 1 i 2), a diagram jest przemienny, jeżeli każdy poddiagram wieloboczny jest przemienny.
Dowodzenie
Popularną metodą dowodzenia, szczególnie w algebrze homologicznej, jest tzw. diagram chasing (ściganie [elementów] po diagramie). Dla danego diagramu przemiennego „dowód przez ściganie” polega na formalnym wykorzystaniu jego własności, takich jak iniektywność, czy suriektywność przekształceń albo ciągi dokładne. W wyniku tego postępowania konstruuje się sylogizm, dla którego graficzne przedstawienie w postaci diagramu jest tylko pomocą wzrokową. Nazwa ma swoje źródło w metodzie dowodzenia: „ściga” się elementy po całym diagramie, aż skonstruuje się upragniony element lub sprawdzi poprawność wyniku.