Grupa przestrzenna

Grupa przestrzenna – w matematyce, geometrii i krystalografii jest to grupa symetrii. W przestrzeni trójwymiarowej zazwyczaj dzieli przestrzeń na powtarzalną grupę dyskretną.

W przestrzeni trójwymiarowej istnieje 219 różnych typów grup przestrzennych (230 uwzględniając chiralne). Grupy przestrzenne są badane i występują także w przestrzeniach o różnej ilości wymiarów. Za przykład mogą posłużyć grupy Bieberbacha.

W krystalografii spotyka się grupy określane mianem krystalograficznych grup przestrzennych lub grup Fiodorowa. Przedstawiają i opisują symetrie kryształów.

Rys historyczny

Grupy przestrzenne w przestrzeni dwuwymiarowej były znane od bardzo dawna. Pierwsze grupy przestrzenne dla przestrzeni trójwymiarowej wyliczono pod koniec XIX wieku. W 1891 roku dokonali tego niezależnie Fiodorow (1853-1919) i Schonflies (1853-1928). W 1894 roku wyliczeń dokonał również Barlow (1845-1934). Pierwsze prace zawierały błędy. Fiodorow i Schonflies korespondencyjnie wymienili się wyliczeniami. Rezultatem tego była w pełni poprawna lista 230 grup przestrzennych.

Elementy grup przestrzennych

Grupy przestrzenne w trójwymiarowej przestrzeni powstały w wyniku połączenia 32 krystalograficznych grup punktowych z 14 sieciami Bravais’go należących do jednego z 7 układów krystalograficznych. Z tego powodu grupy przestrzenne uwzględniają kombinacje translacji komórki elementarnej i operacji wykonywanych na grupach punktowych. W związku z tym w grupach przestrzennych jako elementy symetrii pojawiają się osie śrubowe oraz płaszczyzny ślizgowe (płaszczyzny poślizgu). Operacja obrotu śrubowego jest złożeniem obrotu wokół osi oraz translacji wzdłuż osi (będącej ułamkiem wektora translacji w kierunku osi). Operacja odbicia w płaszczyźnie ślizgowej polega na złożeniu operacji odbicia w płaszczyźnie i translacji o 1/2 wektora sieciowego w kierunku równoległym do płaszczyzny. Dodajmy, że dodanie translacji prostopadłej do płaszczyzny skutkowałoby jedynie przesunięciem płaszczyzny.

Notacje grup przestrzennych

Istnieje co najmniej dziewięć sposobów określania grup przestrzennych:

• numeryczna – Międzynarodowa Unia Krystalografii (IUCr) publikuje tabele wszystkich typów grup przestrzennych i przypisuje każdej unikatowy numer od 1 do 230. Grupy przestrzenne tych samych układów krystalograficznych i grup punktowych przydzielone mają kolejne numery.

• międzynarodowa (M, notacja Hermanna–Mauguina) – składa się z dużej litery oznaczającej typ sieci Bravais’go, z liczb oznaczających osie symetrii zwykłe, inwersyjne lub śrubowe oraz z małych liter jako symboli płaszczyzn symetrii i poślizgu. Znając reguły składania elementów symetrii możliwe jest przedstawienie rozmieszczenia elementów symetrii w komórce elementarnej.

• notacja Halla

• notacja Kreutza-Zaremby – za twórcze elementy symetrii przyjmuje się osie i środek symetrii. W symbolach klas opuszcza się płaszczyzny symetrii, jeżeli wynikają one z iloczynu osi parzystokrotnych i środka symetrii.

• notacja Schonfliesa – składa się z dużej litery C, D, S, T, O określającej rodzaj grupy obrotowej oraz z dolnych indeksów informujących o krotności głównej osi symetrii (n), rodzaju płaszczyzny symetrii (v, h, d) i o istnieniu środka symetrii (i). Z takich symboli nie można określić typu sieci Bravais’go i wszystkich elementów symetrii grupy.

• symbol Shubnikova

• notacja orbifold dla dwuwymiarowej przestrzeni i notacja fibrifold dla trójwymiarowej przestrzeni – twory matematyczne wprowadzone przez Conwaya i Thurstona. Niektórym grupom przestrzennym można przyporządkować symbole orbifoldów i fibrifoldów.

• notacja Coxetera – przestrzenna i punktowa grupa symetrii przedstawiona w postaci grup Coxetera.

Klasyfikacja grup przestrzennych

Istnieje co najmniej 10 różnych możliwości klasyfikowania grup przestrzennych w przestrzeni trójwymiarowej. Skatalogowane są w tabeli od postaci najbardziej szerokiej, aż do wąskich klas na samym dole:

Krystalograficzne grupy przestrzenne (230 klas)
Afiniczne grupy przestrzenne (219 klas)
Arytmetyczne grupy przestrzenne (73 klasy)
Klasy krystalograficzne (32 klasy)	Grupa punktowa sieci Bravais’go (14 klas)
Układ krystalograficzny (7 klas)	Sieć Bravais’go (7 klas)
Rodzina krystalograficzna (6 klas)

Grupa przestrzenna w 3 wymiarach

	Układ krystalograficzny	Grupy punktowe		Grupy przestrzenne
		M	Schonflies
1	trójskośny (2)	$1$	$C_{1}$	$P1$
2		${\bar {1}}$	$C_{i}$	${P{\overline {1}}}$
3–5	jednoskośny (13)	$2$	$C_{2}$	$P2,P2_{1},C2$
6–9		$m$	$C_{s}$	$Pm,Pc,Cm,Cc$
10–15		$2/m$	$C_{2h}$	$P2/m,P2_{1}/m,C2/m,P2/c,P2_{1}/c,C2/c$
16–24	rombowy (59)	$222$	$D_{2}$	$P222,P222_{1},P2_{1}2_{1}2,P2_{1}2_{1}2_{1},C222_{1},C222,F222,I222,I2_{1}2_{1}2_{1}$
25–46		$mm2$	$C_{2v}$	$Pmm2,Pmc2_{1},Pcc2,Pma2,Pca2_{1},Pnc2,Pmn2_{1},Pba2,Pna2_{1},Pnn2,$ $Cmm2,Cmc2_{1},Ccc2,Amm2,Aem2,Ama2,Aea2,Fmm2,Fdd2,Imm2,Iba2,Ima2$
47–74		$mmm$	$D_{2h}$	$Pmmm,Pnnn,Pccm,Pban,Pmma,Pnna,$ $Pmna,Pcca,Pbam,Pccn,Pbcm,Pnnm,Pmmn,Pbcn,Pbca,Pnma,$ $Cmcm,Cmce,Cmmm,Cccm,Cmme,Ccce,Fmmm,Fddd,Immm,Ibam,Ibca,Imma$
75–80	tetragonalny (68)	$4$	$C_{4}$	$P4,P4_{1},P4_{2},P4_{3},I4,I4_{1}$
81–82		${\bar {4}}$	$S_{4}$	$P{\bar {4}},I{\bar {4}}$
83–88		$4/m$	$C_{4h}$	$P4/m,P4_{2}/m,P4/n,P4_{2}/n,I4/m,I4_{1}/a$
89–98		$422$	$D_{4}$	$P422,P42_{1}2,P4_{1}22,P4_{1}2_{1}2,P4_{2}22,P4_{2}2_{1}2,P4_{3}22,P4_{3}2_{1}2,I422,I4_{1}22$
99–110		$4mm$	$C_{4v}$	$P4mm,P4bm,P4_{2}cm,P4_{2}nm,P4cc,P4nc,P4_{2}mc,P4_{2}bc,I4mm,I4cm,I4_{1}md,I4_{1}cd$
111–122		${\bar {4}}2m$	$D_{2d}$	$P{\bar {4}}2m,P{\bar {4}}2c,P{\bar {4}}2_{1}m,P{\bar {4}}2_{1}c,P{\bar {4}}m2,P{\bar {4}}c2,P{\bar {4}}b2,P{\bar {4}}n2,I{\bar {4}}m2,I{\bar {4}}c2,I{\bar {4}}2m,I{\bar {4}}2d$
123–142		$4/mmm$	$D_{4h}$	$P4/mmm,P4/mcc,P4/nbm,P4/nnc,P4/mbm,P4/mnc,P4/nmm,P4/ncc,$ $P4_{2}/mmc,P4_{2}/mcm,P4_{2}/nbc,P4_{2}/nnm,P4_{2}/mbc,P4_{2}/mnm,P4_{2}/nmc,P4_{2}/ncm,$ $I4/mmm,I4/mcm,I4_{1}/amd,I4_{1}/acd$
143–146	trygonalny (25)	$3$	$C_{3}$	$P3,P3_{1},P3_{2},R3$
147–148		${\bar {3}}$	$S_{6}$	$P{\bar {3}},R{\bar {3}}$
149–155		$32$	$D_{3}$	$P312,P321,P3_{1}12,P3_{1}21,P3_{2}12,P3_{2}21,R32$
156–161		$3m$	$C_{3v}$	$P3m1,P31m,P3c1,P31c,R3m,R3c$
162–167		${\bar {3}}m$	$D_{3d}$	$P{\bar {3}}1m,P{\bar {3}}1c,P{\bar {3}}m1,P{\bar {3}}c1,R{\bar {3}}m,R{\bar {3}}c$
168–173	heksagonalny (27)	$6$	$C_{6}$	$P6,P6_{1},P6_{5},P6_{2},P6_{4},P6_{3}$
174		${\bar {6}}$	$C_{3h}$	$P{\bar {6}}$
175–176		$6/m$	$C_{6h}$	$P6/m,P6_{3}/m$
177–182		$622$	$D_{6}$	$P622,P6_{1}22,P6_{5}22,P6_{2}22,P6_{4}22,P6_{3}22$
183–186		$6mm$	$C_{6v}$	$P6mm,P6cc,P6_{3}cm,P6_{3}mc$
187–190		${\bar {6}}m2$	$D_{3h}$	$P{\bar {6}}m2,P{\bar {6}}c2,P{\bar {6}}2m,P{\bar {6}}2c$
191–194		$6/mmm$	$D_{6h}$	$P6/mmm,P6/mcc,P6_{3}/mcm,P6_{3}/mmc$
195–199	regularny (36)	$23$	$T$	$P23,F23,I23,P2_{1}3,I2_{1}3$
200–206		$m{\bar {3}}$	$T_{h}$	$Pm{\bar {3}},Pn{\bar {3}},Fm{\bar {3}},Fd{\bar {3}},Im{\bar {3}},Pa{\bar {3}},Ia{\bar {3}}$
207–214		$432$	$O$	$P432,P4_{2}32,F432,F4_{1}32,I432,P4_{3}32,P4_{1}32,I4_{1}32$
215–220		${\bar {4}}3m$	$T_{d}$	$P{\bar {4}}3m,F{\bar {4}}3m,I{\bar {4}}3m,P{\bar {4}}3n,F{\bar {4}}3c,I{\bar {4}}3d$
221–230		$m{\bar {3}}m$	$O_{h}$	$Pm{\bar {3}}m,Pn{\bar {3}}n,Pm{\bar {3}}n,Pn{\bar {3}}m,Fm{\bar {3}}m,Fm{\bar {3}}c,Fd{\bar {3}}m,Fd{\bar {3}}c,Im{\bar {3}}m,Ia{\bar {3}}d$

Wprowadzenie przez IUCr pojęcia płaszczyzny poślizgu e spowodowało w 1996 roku zmianę symboli i rysunków niektórych grup przestrzennych. Zmiana dotyczyła 7 grup w układzie rombowym oraz pięciu dla układów tetragonalnego i regularnego. Rysunki wszystkich wymienionych grup zostały zmienione. Symbole grup zostały zmienione tylko dla 5 przypadków w układzie rombowym (np. Abm2 na Aem2).

Linki zewnętrzne

• Międzynarodowa Unia Krystalograficzna (UICr) (ang.)
• Grupy punktowe i sieci Bravais’go (ang.)
• Wyszukiwarka grup przestrzennych (ang.)
• Spis grup przestrzennych (ang.)
• Lista wszystkich grup przestrzennych (ang.)
• Spis grup przestrzennych w 3D (ang.)
• Równania symetrii w przestrzeni dwuwymiarowej (ang.)
• Równania symetrii w przestrzeni trójwymiarowej (ang.)

Zobacz też

• Jewgraf Fiodorow
• Arthur Moritz Schonflies
• Ludwig Bieberbach