Zbieżność prawie wszędzie: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja nieprzejrzana]

Usunięta treść Dodana treść

Jednokolumnowy

Wersja z 20:30, 17 gru 2006

Zbieżność prawie wszędzie ciągu funkcji względem (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku.

Definicja

Niech $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ będzie ciągiem funkcji prawie wszędzie skończonych. $f_{n},f\colon A\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\mu \colon {\mathfrak {M}}\longrightarrow [0,\infty ]$ - miara. $A\in {\mathfrak {M}}$ .
Mówimy, że ciąg $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny do funkcji $f\;$ prawie wszędzie (względem miary $\mu \;$ na zbiorze $A\;$ ), wtedy i tylko wtedy, gdy:

\bigvee _{{\mathfrak {M}}\ni B\subset A}

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle \left[\mu(A\setminus B)=0\wedge\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x),\quad x\in A\right]}

Twierdzenia o zbieżności prawie wszędzie

Każdy ciąg zbieżny prawie jednostajnie jest zbieżny prawie wszędzie i według miary (do tej samej funkcji).

Zobacz też

@@ Linia 3: / Linia 3: @@
 ==Definicja==
-Niech <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> będzie ciągiem funkcji [[funkcja mierzalna|mierzalnych]], [[funkcja prawie wszędzie skończona|prawie wszędzie skończonych]]. <math>f_n, f\colon A\longrightarrow \overline{\mathbb{R}}, \mu\colon\mathfrak{M}\longrightarrow [0,\infty]</math> - miara. <math>A\in\mathfrak{M}</math>.<br>
+Niech <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> będzie ciągiem funkcji [[funkcja prawie wszędzie skończona|prawie wszędzie skończonych]]. <math>f_n, f\colon A\longrightarrow \overline{\mathbb{R}}, \mu\colon\mathfrak{M}\longrightarrow [0,\infty]</math> - miara. <math>A\in\mathfrak{M}</math>.<br>
 Mówimy, że ciąg <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> jest zbieżny do funkcji <math>f\;</math> prawie wszędzie (względem miary <math>\mu\;</math> na zbiorze <math>A\;</math>), wtedy i tylko wtedy, gdy:
 :<math>\bigvee_{\mathfrak{M}\ni B\subset A}</math><math>\left[\mu(A\setminus B)=0\wedge\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x),\quad x\in A\right]</math>