Zdarzenia losowe niezależne: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
tu nie ma co "dla kompletności uznawać", definicja jest wyżej podana także dla przypadku P(B)=0 |
porządkuję trochę tę sekcję |
||
Linia 2: | Linia 2: | ||
: <math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).</math> |
: <math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).</math> |
||
Taka postać warunku na niezależność zdarzeń <math>A</math> i <math>B</math> wynika z intuicyjnego stwierdzenia: zdarzenie <math>A</math> nie zależy od zdarzenia <math>B,</math> jeśli wiedza nt. zajścia <math>B</math> nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia <math>A.</math> |
Taka postać warunku na niezależność zdarzeń <math>A</math> i <math>B</math> wynika z intuicyjnego stwierdzenia: zdarzenie <math>A</math> nie zależy od zdarzenia <math>B,</math> jeśli wiedza nt. zajścia <math>B</math> nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia <math>A.</math> |
||
Wychodząc z tych intuicji można korzystając z pojęcia [[Prawdopodobieństwo warunkowe|prawdopodobieństwa warunkowego]] podać równoważną definicję niezależności zdarzeń <math>A, B: </math> |
|||
:<math>P(A|B)=P(A)</math> |
|||
:<math>P(B|A)=P(B)</math> |
|||
przy założeniu <math>P(A)\ne 0,\; P(B)\ne 0.</math> |
|||
Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli <math>A_1, \dots, A_m\in \mathcal{A},</math> to mówimy, że są one '''niezależne''', gdy spełniony jest warunek |
Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli <math>A_1, \dots, A_m\in \mathcal{A},</math> to mówimy, że są one '''niezależne''', gdy spełniony jest warunek |
Wersja z 01:39, 3 sty 2020
Zdarzenia losowe niezależne – zdarzenia na pewnej ustalonej przestrzeni probabilistycznej spełniające warunek
Taka postać warunku na niezależność zdarzeń i wynika z intuicyjnego stwierdzenia: zdarzenie nie zależy od zdarzenia jeśli wiedza nt. zajścia nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia
Wychodząc z tych intuicji można korzystając z pojęcia prawdopodobieństwa warunkowego podać równoważną definicję niezależności zdarzeń
przy założeniu
Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli to mówimy, że są one niezależne, gdy spełniony jest warunek
- dla każdego układu indeksów oraz dla każdego
Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej n zdarzenia są niezależne.
Z drugiej strony definiuje się też zdarzenia losowe niezależne parami, co w przypadku (skończonego lub nieskończonego) ciągu zdarzeń ma miejsce wtedy, gdy dowolna para zdarzeń z tego ciągu jest niezależna. Warunek ten jest słabszy od warunku „pełnej” niezależności zdarzeń.
Własności
- Z definicji wynika, że dwa zdarzenia rozłączne są niezależne, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe.
- Gdy zdarzenia są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne też są niezależne oraz:
Por. prawa De Morgana.
Niezależność σ-ciał
σ-ciała gdzie dla nazywamy niezależnymi, gdy dla dowolnych
Jeżeli to przez rozumiemy σ-ciało generowane przez zdarzenie tzn. najmniejsze σ-ciało zawierające zbiór Dokładniej, dla
Używając tych definicji, niezależność skończonej liczby zdarzeń można scharakteryzować w następujący sposób: zdarzenia są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy σ-ciała są niezależne.
Zobacz też
Bibliografia
- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004, s. 43–47.
- Przystępne wyjaśnienie niezależności zdarzeń na przykładzie