Liczby wymierne: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
→Zobacz też: +wikisłownik |
drobne redakcyjne |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
{{Definicja intuicyjna|Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca [[rozwinięcie dziesiętne]].}} |
{{Definicja intuicyjna|Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca [[rozwinięcie dziesiętne]].}} |
||
'''Liczby wymierne''' – [[Liczba|liczby]], które można zapisać w postaci [[Dzielenie|ilorazu]] dwóch [[liczby całkowite|liczb całkowitych]], |
'''Liczby wymierne''' – [[Liczba|liczby]], które można zapisać w postaci [[Dzielenie|ilorazu]] dwóch [[liczby całkowite|liczb całkowitych]], w którym dzielnik jest różny od [[0 (liczba)|zera]]. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą [[Ułamek|ułamka zwykłego]]. [[Zbiór]] liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem <math>\mathbb Q.</math> Wobec tego: |
||
: <math>\mathbb Q = \left\{ \frac{m}{n} : m, n \in \mathbb Z, n \ne 0 \right\}.</math> |
: <math>\mathbb Q = \left\{ \frac{m}{n} : m, n \in \mathbb Z, n \ne 0 \right\}.</math> |
||
Wersja z 13:47, 19 sty 2020
Definicja intuicyjna |
Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne. |
Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, w którym dzielnik jest różny od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem Wobec tego:
Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. liczby całkowite i liczby naturalne.
Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób:
Niech w zbiorze par liczb całkowitych których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności
- wtedy i tylko wtedy, gdy
W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania
Parę zapisuje się zwykle w postaci ułamka bądź jeśli to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą
Własności
- Liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią ciało.
- W arytmetyce teoretycznej ciało liczb wymiernych definiuje się jako ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych.
- Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli jest to zbiór przeliczalny (co oznacza się ).
- Jako podzbiór przestrzeni liczb rzeczywistych liczby wymierne są gęste w