Skończenie generowana grupa przemienna

Skończenie generowana grupa przemienna – grupa przemienna (abelowa), której zbiór generatorów jest skończony. W szczególności, każda skończona grupa abelowa jest skończenie generowana.

Skończenie generowane grupy mają prostą strukturę i mogą być całkowicie sklasyfikowane, jak wyjaśniono niżej.

Definicja

Niech $(G,+)$ będzie przemienna. Grupę tę nazywa się skończenie generowaną, jeżeli istnieje skończenie wiele takich elementów $x_{1},\dots ,x_{s}\in G,$ że każdy $x\in G$ może być zapisany jako

$x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\ldots n_{s}x_{s},$

gdzie $n_{1},\dots ,n_{s}$ są całkowite. Wtedy mówi się, że zbiór $\{x_{1},\dots ,x_{s}\}$ jest zbiorem generującym (generatorów) $G$ lub że $x_{1},\dots ,x_{s}$ generują $G.$

Przykłady

• Liczby całkowite $(\mathbb {Z} ,+)$ są skończenie generowaną grupą abelową,
• liczby całkowite modulo n $\mathbb {Z} _{n}$ są skończenie generowanymi grupami przemiennymi,
• dowolna suma prosta skończenie wielu skończenie generowanych grup przemiennych także jest skończenie generowaną grupą przemienną

Powyższa lista wyczerpuje przykłady podgrup skończenie generowanych.

• Grupa $(\mathbb {Q} ,+)$ liczb wymiernych nie jest skończenie generowana: niech $x_{1},\dots ,x_{s}$ będą liczbami wymiernymi, a $w$ liczbą naturalną względnie pierwszą z mianownikami liczb $x_{1},\dots ,x_{s},$ wtedy przedstawienie elementu ${\tfrac {1}{w}}$ za pomocą $x_{1},\dots ,x_{s}$ okazuje się niemożliwe.

Klasyfikacja

Twierdzenie o klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych (Frobenius i Stickelberger, 1878), będące szczególnym przypadkiem twierdzenia strukturalnego dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych (twierdzenia Frobeniusa o równoważności macierzy nad pierścieniem liczb całkowitych), może być wyrażone na dwa niżej wymienione sposoby (podobnie jak dla d.i.g.). Jego szczególnym przypadkiem jest twierdzenie o klasyfikacji skończonych grup przemiennych. Wynik ten ma zastosowanie praktyczne w informatyce: obliczenia w poszczególnych grupach rozkładu mogą być wykonywane równolegle (tzn. niezależnie od siebie).

Rozkład na czynniki pierwsze

Sformułowanie rozkładu na czynniki pierwsze mówi, że każda skończenie generowana grupa abelowa $G$ jest izomorficzna z sumą prostą cyklicznych grup o rzędach będącymi potęgami liczb pierwszych oraz nieskończonych grup cyklicznych. To jest, każda taka grupa jest izomorficzna z grupą postaci

$\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{q_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{q_{t}},$

gdzie $n\geqslant 0,$ a liczby $q_{1},\dots ,q_{t}$ są (niekoniecznie różnymi) potęgami liczb pierwszych. W szczególności $G$ jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy $n=0.$ Wartości $n,q_{1},\dots ,q_{t}$ są wyznaczone jednoznacznie (co do porządku) przez $G.$

Rozkład na czynniki niezmiennicze

Dowolna skończenie generowana grupa przemienna $G$ może być zapisana także jako iloczyn prosty postaci

$\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}},$

gdzie $k_{1}$ dzieli $k_{2},$ które dzieli $k_{3}$ i tak dalej, aż do $k_{u}.$ Znowu, liczby $n,k_{1},\dots ,k_{u}$ są jednoznacznie wyznaczone przez $G$ (tutaj wraz z jednoznacznym porządkiem) i są nazywane czynnikami niezmienniczymi, tzn. dwie skończenie generowane grupy abelowe są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe ciągi czynników niezmienniczych; liczba $n$ jest równa randze grupy abelowej.

Równoważność

Powyższe stwierdzenia są równoważne na mocy chińskiego twierdzenia o resztach, które mówi w tym wypadku, że $\mathbb {Z} _{m}$ jest izomorficzna z iloczynem prostym $\mathbb {Z} _{j}$ przez $\mathbb {Z} _{k}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $j$ oraz $k$ są względnie pierwsze i $m=jk.$

Wnioski

Wyrażone inaczej twierdzenie o klasyfikacji mówi, że skończenie generowana grupa przemienna jest sumą prostą grupy abelowej wolnej skończonej rangi i skończonej grupy przemiennej, z których każda jest wyznaczona jednoznacznie co do izomorfizmu. Skończona grupa abelowa jest podgrupą torsyjną $G.$ Ranga $G$ jest określona jako ranga beztorsyjnej części $G;$ tzn. jest to liczba $n$ w powyższych wzorach.

Wnioskiem płynącym z twierdzenia o klasyfikacji jest, że każda skończenie generowana beztorsyjna grupa przemienna jest wolną grupą abelową. Warunek skończonego generowania jest tu kluczowy: $\mathbb {Q}$ jest beztorsyjna, ale nie jest wolna grupą abelową.

Każda podgrupa i grupa ilorazowa skończenie generowanej grupy abelowej jest znowu skończenie generowaną grupą abelową. Skończenie generowane grupy przemienne, wraz z homomorfizmami grupowymi stanowią kategorię przemienną, będącą podkategorią Serre’a kategorii grup abelowych.

Nieskończenie generowane grupy przemienne

Należy mieć na uwadze, że nie każda grupa przemienna skończonej rangi jest skończenie generowana; grupa pierwszej rangi $\mathbb {Q}$ jest jednym z przykładów, kolejnym jest grupa rangi zerowej będąca sumą prostą przeliczalnie wielu egzemplarzy $\mathbb {Z} _{2}.$

Zobacz też

• twierdzenie Jordana-Höldera jako uogólnienie na grupy nieprzemienne