Płaskie zginanie pręta: Różnice pomiędzy wersjami

Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Usunięte 28 bajtów ,  7 miesięcy temu
m
Wycofano edycje użytkownika Piotr Osada (dyskusja). Autor przywróconej wersji to Beno.
m (Wzory: wyprowadzenie przecinków i kropek kończących zdania poza formułę (znaczniki "<math>...</math>"): regex wyszukaj: (,|\.)(</math>) zastąp: $2$1. Dodanie kontroli autorytatywnej)
Znacznik: Wycofane
m (Wycofano edycje użytkownika Piotr Osada (dyskusja). Autor przywróconej wersji to Beno.)
Znacznik: Wycofanie zmian
 
Skutkiem tego założenia jest równanie odkształceń wzdłuż wysokości przekroju. Przy założeniu, że odkształcenie na osi pręta (z=0) jest zerowe odkształcenia wynoszą:
:: <math>\epsilon_x = \pm \frac{z}{\rho},</math>,
 
gdzie arbitralność znaku wynika z przyjętej parametryzacji dla obliczenia promienia [[Krzywizna krzywej|krzywizny]].
 
Odkształcenia wywołują naprężenia normalne:
:: <math>\sigma_x = \pm E \frac{z}{\rho}.</math>.
 
Obliczając siłę podłużną w przekroju
oraz moment zginający
:: <math>M=\int_A z\sigma_x dA = \pm E \int_A \frac{z^2}{\rho} dA
= \pm \frac{E}{\rho} \int_A z^2 dA = \pm \frac{E}{\rho} J_x,</math>,
 
gdzie <math>J_x</math> jest [[Geometryczne momenty bezwładności|momentem bezwładności]] względem osi <math>x</math> pręta.
 
Jeśli [[Siły wewnętrzne|wielkości przekrojowe]] są obliczanie względem środka ciężkości przekroju, to <math>S_x=0</math> oraz <math>N=0</math> (zginanie bez siły podłużnej). Wtedy pozostaje jedno równanie
:: <math>\frac{EJ_x}{\rho(x)} = \pm M(x).</math>.
 
Stąd można wyliczyć promień krzywizny i uzyskać równanie naprężeń wzdłuż wysokości przekroju
:: <math>\sigma_x(z) = \pm \frac{z\cdot M}{J_x}.</math>.
 
Dla nieskończenie małych przemieszczeń i odkształceń krzywiznę przybliża się drugą pochodną równania linii ugięcia:
:: <math>\frac{1}{\rho}\approx \pm w''(x),</math>,
 
otrzymując równanie różniczkowe:
:: <math>EJ_x w''(x) = \pm M(x),</math>,
 
gdzie znak należy dobrać stosownie do konwencji znakowania momentów.
 
Jeśli moment jest zmienny względem x to z [[Twierdzenie Schwedlera-Żurawskiego|tw. Schwedlera-Żurawskiego]] wynika istnienie sił poprzecznych. Wtedy równanie linii ugięcia staje się równaniem czwartego rzędu:
:: <math>EJ_x w^{IV} = -q(x).</math>.
 
Jest to przypadek prostego zginania. Prowadzi on do wewnętrznie sprzecznego rozwiązania – nie są spełnione warunki nierozdzielności. Pomimo tego jest on używany do praktycznego projektowania, gdyż dla prętów długich w stosunku do rozmiarów przekroju błąd jest pomijalny. Dla prętów krępych (krótkich w stosunku do wymiarów przekroju) zginanie jest lepiej opisywane przez teorię Timoshenki.
 
Maksymalne [[naprężenie]] normalne w przekroju poprzecznym jest osiągane dla <math>z_{max}</math> i wynosi:
:: <math>\sigma_{max} = \frac{M_x}{W_x},</math>,
 
gdzie:
 
Zgodnie z [[wytężenie|hipoteza wytężeniową]] naprężenie musi spełniać warunek:
:: <math>\sigma_{max} < k_g,</math>,
 
gdzie:
== Linki zewnętrzne ==
* [http://pkm.edu.pl/index.php/ksztatowniki/74-07000303 Wskaźniki wytrzymałości dla różnych przekrojów]
 
{{Kontrola autorytatywna}}
 
[[Kategoria:Wytrzymałość materiałów]]

Menu nawigacyjne