Liczby p-adyczne: Różnice pomiędzy wersjami

Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Usunięte 9 bajtów ,  6 miesięcy temu
m
poprawienie spisu treści
m (poprawienie spisu treści)
Formalniej, dla ustalonej liczby <math>p,</math> [[Ciało (matematyka)|ciało]] <math>\mathbf{Q}_p</math> liczb <math>p</math>-adycznych jest uzupełnieniem liczb wymiernych. Zadana jest na nim topologia pochodząca od metryki, która to zdefiniowana jest w terminach <math>p</math>-adycznego rzędu, alternatywnej waluacji na liczbach wymiernych. Ta [[przestrzeń metryczna]] jest [[Przestrzeń zupełna|zupełna]], to znaczy każdy [[ciąg Cauchy’ego]] zbiega do pewnego punktu w <math>\mathbf{Q}_p.</math> Umożliwia to rozwój analizy nad nowym ciałem. Właśnie interakcja analitycznej oraz algebraicznej struktury sprawia, że liczby <math>p</math>-adyczne są takie użyteczne.
 
== Rozwinięcia <math>''p</math>''-adyczne ==
Jeżeli ustalimy liczbę pierwszą <math>p,</math> to każda dodatnia liczba całkowita może zostać zapisana w [[Systemy pozycyjne|systemie pozycyjnym]] o podstawie <math>p</math> jako <math>\textstyle\sum_{i=0}^n a_ip^i,</math> gdzie całkowite liczby <math>a_i</math> spełniają nierówności <math>0 \leqslant a_i \leqslant p - 1.</math> Dla przykładu, możemy rozwinąć <math>35</math> jako <math>1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0.</math> Podobne rozwinięcia istnieją także dla liczb wymiernych (oraz rzeczywistych), musimy jednak dopuścić sumy o nieskończenie wielu składnikach oraz sumy ujemne, czyli
:: <math>\pm \sum_{i = -\infty}^n a_ip^i.</math>

Menu nawigacyjne