Relacja zwrotna

Relacja zwrotna – relacja, w której każdy element zbioru jest w relacji sam z sobą.

Formalnie: relację dwuczłonową $\varrho \subseteq X\times X$ nazywa się zwrotną, gdy

$\forall _{x\in X}\;(x\ \varrho \ x).$

Relacja przeciwzwrotna – relacja, w której żaden element zbioru nie jest w relacji sam z sobą.

Formalnie: relację dwuczłonową $\varrho \subseteq X\times X$ nazywa się przeciwzwrotną, gdy

$\forall _{x\in X}\ \lnot (x\ \varrho \ x).$

Przykłady

Relacje zwrotne:

• Każda relacja równoważności i każdy częściowy porządek, szerzej: każdy praporządek
• Przecinanie się zbiorów niepustych
• Przemienność (komutacja) funkcji w danym zbiorze (działań jednoargumentowych) lub macierzy kwadratowych
• liniowa zależność wektorów

Relacje przeciwzwrotne:

• Relacja większości w zbiorze liczb rzeczywistych
• Ścisłe zawieranie (ścisła inkluzja) zbiorów
• Prostopadłość prostych
• Rozłączność zbiorów niepustych
• Liniowa niezależność niezerowych wektorów
• Bycie rodzicem lub przodkiem, dzieckiem lub potomkiem, rodzeństwem, małżonkiem

Relacje ani zwrotne, ani przeciwzwrotne:

• Biorąc relację $\varrho$ określoną na zbiorze liczb naturalnych następująco: $n\ \varrho \ m$ wtedy i tylko wtedy, gdy $n+m+1$ jest liczbą pierwszą. Relacja $\varrho$ nie jest zwrotna i nie jest przeciwzwrotna, ponieważ przykładowo $\lnot (10\ \varrho \ 10)$ (co dowodzi, że nie jest zwrotna, ponieważ $10+10+1=21=7\cdot 3$) oraz $2\ \varrho \ 2$ (nie jest przeciwzwrotna, ponieważ $2+2+1=5$).

Zobacz też

• częściowy porządek
• relacja antysymetryczna
• relacja przeciwsymetryczna
• relacja symetryczna

Bibliografia

• Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 155. ISBN 83-01-14415-7.