Następnik liczby porządkowej: Różnice pomiędzy wersjami

Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
m
drobne redakcyjne
m (Operacja następnika dla liczb porządkowych przeniesiono do Następnik liczby porządkowej: ładniejszy tytuł zgodny z przeglądem zagadnień)
m (drobne redakcyjne)
{{spis treści}}
'''Operacja następnika''' dla [[Liczby porządkowe|liczb porządkowych]] jest najbardziej podstawową operacją przeprowadzaną na liczbach porządkowych.
'''Następnik liczby porządkowej''' – podstawowa operacja przeprowadzana na [[liczby porządkowe|liczbach porządkowych]]. Najbardziej znanym jej zastosowaniem jest konstrukcja [[aksjomat nieskończoności|zbiorów induktywnych]], np. [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] w konstrukcji [[John von Neumann|von Neumanna]].
 
==Definicja==
Operacja ta zdefiniowana jest następująco:
:'''Następnikiem''' liczby porządkowej <math>S(\alpha)</math> =nazywamy liczbę porządkową <math>\alpha \cup \{\alpha\}</math> oznaczaną symbolem <math>\operatorname{S}(\alpha)</math>.
 
==Własności==
Następujące fakty są łatwe do udowodnienia:
: 1.* Nie istnieje żadna liczba porządkowa pomiędzy <math>\alpha\,</math> i <math>\operatorname{S}(\alpha)\,</math>.,
* <math>\alpha \in \operatorname{S}(\alpha)</math>, a zarazem <math>\alpha \subset \operatorname{S}(\alpha)</math>.
 
===Przykłady===
: 1. Nie istnieje żadna liczba porządkowa pomiędzy <math>\alpha\,</math> i <math>S(\alpha)\,</math>.
* <math>\operatorname{S}\left(\{\varnothing\}\right) = \left\{\varnothing, \{\varnothing\}\right\}</math>,
: 2. <math>\alpha < S(\alpha)\,</math>.
* <math>\operatorname{S}\left(\left\{\varnothing, \{\varnothing\}\right\}\right) = \left\{\varnothing, \{\varnothing\}, \left\{\varnothing, \{\varnothing\}\right\}\right\}</math>.
 
Liczba <math>S(\alpha)\,</math> nazywana jest '''następnikiem''' <math>\alpha\,</math>.
 
Warto zauważyć, że <math>\alpha \in S\,(\alpha)</math> i równocześnie <math>\alpha \subset S(\alpha)\,</math>. Pojęcie to wykorzystuje się do konstrukcji [[aksjomat nieskończoności|zbiorów induktywnych]], a w konsekwecji np. w konstrukcji [[John von Neumann|von Neumanna]] [[Liczby naturalne|liczb naturalnych]].
 
===Przykłady===
* <math>S(\{\emptyset\})=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\,</math>
* <math>S(\{\emptyset,\{\emptyset\}\})=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}\,</math>
 
==Zobacz też==
* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]],
* [[Graniczna liczba porządkowa]].
* [[aksjomaty i konstrukcje liczb]],
* [[Granicznagraniczna liczba porządkowa]].
 
[[Kategoria: Teoria mnogości]]
 
[[cs:Izolovaný ordinál]]
12 935

edycji

Menu nawigacyjne