Twierdzenie Turána: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
m dr. meryt |
m Robot zmienia szablon: matematyka stub |
||
Linia 61: | Linia 61: | ||
* [[Graf Turána]] |
* [[Graf Turána]] |
||
{{ |
{{stub}} |
||
[[Kategoria:Teoria grafów]] |
[[Kategoria:Teoria grafów]] |
Wersja z 22:02, 22 sie 2008
Twierdzenie Turána jest twierdzeniem z teorii grafów stanowiącym oszacowanie dla liczby krawędzi w grafie niezawierającym kliki .
Twierdzenie oraz pierwszy opis grafów Turána pochodzi od węgierskiego matematyka Pála Turána i zostało sformułowane w roku 1941.
Sformułowanie
Spośród wszystkich grafów -wierzchołkowych, które nie zawierają kliki -wierzchołkowej, najwięcej krawędzi posiada graf Turána .
Stąd wynika, że w dowolnym grafie takim, że ma co najwyżej wierzchołków oraz nie zawiera -wierzchołkowej kliki, jest co najwyżej
krawędzi.
Szczególnym przypadkiem (dla ) twierdzenia Turána jest następujące Twierdzenie Mantela: maksymalna liczba krawędzi w grafie bez trójkątów jest równa co najwyżej .
Dowód
Niech będzie -wierzchołkowym grafem niezawierającym kliki takim, że ma maksymalną możliwą liczbę krawędzi.
Teza 1: W nie istnieją wierzchołki takie, że , ale .
- Załóżmy, że teza jest fałszywa - wtedy uda się skonstruować graf zawierający tyle samo wierzchołków co i niezawierający kliki , ale mający więcej niż krawędzi.
- Przypadek 1: lub .
- Bez zmniejszenia ogólności, niech . Tworzymy graf usuwając wierzchołek i tworząc kopię wierzchołka z takim samym jak zbiorem sąsiadów (nazwijmy ją ). Ponieważ nie ma krawędzi między i , to żadna klika w nie zawiera obu wierzchołków. Stąd jeżeli nie zawierał kliki , to również jej nie zawiera. Jednocześnie zawiera więcej krawędzi:
- Bez zmniejszenia ogólności, niech . Tworzymy graf usuwając wierzchołek i tworząc kopię wierzchołka z takim samym jak zbiorem sąsiadów (nazwijmy ją ). Ponieważ nie ma krawędzi między i , to żadna klika w nie zawiera obu wierzchołków. Stąd jeżeli nie zawierał kliki , to również jej nie zawiera. Jednocześnie zawiera więcej krawędzi:
- Przypadek 2: oraz .
- W tym przypadku tworząc usuwamy wierzchołki oraz i tworzymy dwie kopie wierzchołka : i . Ponownie, ponieważ nie ma krawędzi pomiędzy , i , to w nie stworzymy kliki większej niż taka, która istniałaby już w . Zauważmy jednak, że i w tym przypadku ma więcej krawędzi:
- Teza 1 jest więc prawdziwa.
- W tym przypadku tworząc usuwamy wierzchołki oraz i tworzymy dwie kopie wierzchołka : i . Ponownie, ponieważ nie ma krawędzi pomiędzy , i , to w nie stworzymy kliki większej niż taka, która istniałaby już w . Zauważmy jednak, że i w tym przypadku ma więcej krawędzi:
Zdefiniujmy relację . Jest to relacja równoważności – jest w oczywisty sposób zwrotna i symetryczna, natomiast przechodniość wynika z udowodnionej właśnie tezy 1, ponieważ jeżeli w nie ma krawędzi między i oraz między i , to nie może być też krawędzi między i . Stąd wynika, że jest, dla pewnego pełnym grafem k-dzielnym, w którym podział wierzchołków odpowiada podziałowi na klasy abstrakcji relacji .
Zauważmy, że musi być , ponieważ w przeciwnym wypadku zawierałby jako podgraf klikę , oraz że w pełnym grafie -dzielnym liczba krawędzi rośnie wraz z . Stąd i z założenia, że ma maksymalną liczbę krawędzi, wynika ostatecznie, że i jest pełnym grafem -dzielnym.
Teza 2: Liczba krawędzi w pełnym grafie -dzielnym jest maksymalna, kiedy wielkości części podziału zbioru wierzchołków różnią się co najwyżej o 1.
- Niech będzie pełnym grafem -dzielnym, w którym istnieją części podziału i takie, że . Możemy zwiększyć liczbę krawędzi w , przenosząc wierzchołek ze zbioru do zbioru . Wskutek przeniesienia usuniemy z grafu krawędzi, jednocześnie dodając krawędzi. W ostatecznym rozrachunku dodajemy krawędzi, co dowodzi tezy 2.
Z powyższego dowodu wynika, że spośród grafów -wierzchołkowych niezawierających kliki , najwięcej krawędzi ma graf Turána .