Funkcja ograniczona: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
m robot dodaje: sk:Ohraničená funkcia |
m robot dodaje: sv:Begränsad funktion |
||
Linia 37: | Linia 37: | ||
[[pt:Função limitada]] |
[[pt:Função limitada]] |
||
[[sk:Ohraničená funkcia]] |
[[sk:Ohraničená funkcia]] |
||
[[sv:Begränsad funktion]] |
|||
[[zh:有界函数]] |
[[zh:有界函数]] |
Wersja z 08:59, 29 sty 2009
Funkcja ograniczona – funkcja, której wszystkie wartości należą do pewnego przedziału ograniczonego.
Funkcją nieograniczoną nazywa się funkcję, która nie jest ograniczona. Równoważnie: jest to funkcja, której zbiór wartości nie zawiera się w żadnym przedziale.
Ograniczoność z góry i z dołu
Funkcję nazwiemy ograniczoną z góry, jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnej ustalonej liczby. Podobnie funkcja jest ograniczona z dołu, jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnej ustalonej liczby. Zatem funkcja jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu.
Ciągi ograniczone
Ponieważ każdy ciąg jest funkcją, zatem pojęcie ograniczoności funkcji przenosi się w naturalny sposób na ciągi. Wyłącznie ciągi ograniczone mogą mieć skończone granice.
Topologia i analiza funkcjonalna
Funkcję o wartościach w przestrzeni metrycznej nazywamy ograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości zawiera się w pewnej kuli. Analogicznie, funkcję nazywamy nieograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy jej nie istnieje kula, w której zawiera się zbiór wartości.
Funkcję o wartościach w przestrzeni liniowo-topologicznej nazywamy ograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej wartości jest zbiorem ograniczonym. Gdy przestrzeń liniowo-topologiczna jest metryzowalna, to obie definicje są równoważne.
Przykłady
- Funkcje sinus i cosinus są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału .
- Funkcje są nieograniczone. Funkcja kwadratowa jest jednak ograniczona z dołu. Ogólnie, wszystkie wielomiany stopnia niezerowego i różne od wielomianu zerowego są nieograniczone.
- Ciąg jest ograniczony, gdyż wszystkie jego wyrazy należą do przedziału .
- Ciąg choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony z góry, zatem jest nieograniczony.
- Ciąg nie jest ograniczony z dołu, natomiast posiada ograniczenie górne.