Spin (fizyka)

Spin jest to własny moment pędu (moment) danej cząstki w układzie, w którym cząstka spoczywa. Własny oznacza tu taki, który nie wynika z ruchu danej cząstki względem innych cząstek, lecz tylko z samej natury tej cząstki. Każdy rodzaj cząstek elementarnych ma odpowiedni dla siebie spin. Cząstki będące konglomeratami cząstek elementarnych (np. jądra atomów) posiadają również swój spin będący sumą wektorową spinów wchodzących w skład jego cząstek elementarnych. Spin jest pojęciem czysto kwantowym. W mechanice klasycznej gdy cząstka spoczywa, nie może mieć niezerowego momentu pędu. Układ spoczynkowy istnieje tylko gdy cząstka ma masę. Gdy cząstka jest bezmasowa (np. foton) można jedynie określić rzut spinu na kierunek propagacji cząstki. Matematycznie spin jest wielkością tensorową wynikającą z teorii kwantowej. Dokładnie jest to własność związana z tensorowym charakterem funkcji falowej, opisującej daną cząstkę, względem grupy obrotów. Np. funkcja falowa pionów może być uważana za wektor, funkcja falowa hipotetycznych grawitonów miałaby być tensorem 2. rzędu, zaś funkcja falowa elektronów jest spinorem o rzędzie 1/2.

Obserwowane wartości spinu są wartościami własnymi operatora spinu. Aby dla danej cząstki otrzymać wartość jej spinu należy zadziałać tym operatorem na jej funkcję falową.

Dla elektronu, protonu czy neutronu liczba ta jest oznaczana symbolem "s" i może przyjmować wartość ułamkową 1/2. Trzy składowe spinu elektronu są opisane macierzami Pauliego:

$S^{i}={\frac {1}{2}}\hbar \sigma _{i}$

gdzie i={1,2,3}, a

$\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},$ $\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},$ $\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

są trzema macierzami Pauliego. Rzut spinu S na trzecią oś

$S_{3}|\sigma \rangle =\hbar \sigma |\sigma \rangle$

przyjmuje dwie liczby ($-{\frac {1}{2}}\hbar ,{\frac {1}{2}}\hbar$). Operatory spinu spełniają reguły komutacyjne

$[S^{i},S^{j}]=i\hbar \sum _{k}\epsilon _{ijk}S^{k}$

identyczne jak operator momentu pędu ${\vec {L}}={\vec {x}}\times {\vec {p}}$ w mechanice falowej lub generatory grupy obrotów (z dokładnością do stałej Plancka $\hbar$). Operator momentu pędu nie komutuje z operatorem pędu p. Oznacza to, np. że nie można jednocześnie zmierzyć tych wielkości (zasada nieoznaczoności). Operator spinu S komutuje jednak z pędem p. Można więc zmierzyć jedną z składowych spinu w układzie spoczynkowym (p=0)

Kwadrat operatora spinu $S^{2}=\sum _{i=1}^{3}(S^{i}S^{i})$ nie jest niezmiennikiem relatywistycznym. Właściwym operatorem Casimira dla grupy Poincarego jest kwadrat pseudowektora Pauliego-Lubańskiego, który jest związany z operatorem kwadratu całkowitego momentu pędu. Operator kwadratu spinu komutuje (jest jednocześnie mierzalny) z dowolną ze składowych spinu ($[S^{2},S^{i}]=0$). Kwadrat operatora spinu $S^{2}$ jest przykładem operatora Casimira w teorii algebr Liego związanych z grupą obrotów.

Zachowanie kolektywne cząstek jest inne w zależności od tego jaki mają spin. Gdy spin cząstki jest całkowity, cząstki są bozonami i podlegają statystyce Bosego-Einsteina. Gdy natomiast maja spin połówkowy cząstki są fermionami i podlegają statystyce Fermiego-Diraca. Związek ten jest szczególnym przypadkiem ogólnego związku spinu ze statystyką.

Cząstki mające spin i ładunek elektryczny różny od zera generują wokół siebie słabe pole magnetyczne (moment magnetyczny). W fazie skondensowanej oddziaływanie spinów może prowadzić do zjawiska ferromagnetyzmu.

Dla fotonu spin s=1 i objawia się jako polaryzacja fali elektromagnetycznej. Dla fotonu nie istnieje układ spoczynkowy. Można jedynie zmierzyć rzut spinu na kierunek propagacji fali elektromagnetycznej. Rzut ten jest równy zeru. Fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną. Istnieją dwie fizyczne polaryzacje (pionowa i pozioma) leżące w płaszczyźnie prostopadłej do wektora falowego k (kierunku propagacji fali).