Twierdzenie spektralne: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
LaaknorBot (dyskusja | edycje) m robot dodaje: uk:Спектральна теорема |
m →Wnioski: poprawa linków |
||
Linia 11: | Linia 11: | ||
Przy założeniach powyższych twierdzeń: |
Przy założeniach powyższych twierdzeń: |
||
# Istnieje [[baza ortonormalna]] przestrzeni <math> V </math>. Wystarczy wektory bazy ortogonalnej unormować (tzn. każdy wektor podzielić przez jego normę). |
# Istnieje [[baza ortonormalna]] przestrzeni <math> V </math>. Wystarczy wektory bazy ortogonalnej unormować (tzn. każdy wektor podzielić przez jego normę). |
||
# Endomorfizm <math> A </math> jest '''[[ |
# Endomorfizm <math> A </math> jest '''[[Endomorfizm diagonalizowalny|diagonalizowalny]]'''. |
||
== Ograniczone operatory normalne == |
== Ograniczone operatory normalne == |
Wersja z 09:50, 16 lut 2009
Twierdzenie spektralne – wspólna nazwa twierdzeń algebry liniowej i analizy funkcjonalnej, charakteryzujących pewne szczególne operatory liniowe, określone na przestrzeniach Hilberta.
Operatory samosprzężone
Przypadek rzeczywisty
Niech będzie prezestrzenią ortogonalną nad ciałem liczb rzeczywistych z dodatnio określonym funkcjonałem dwuliniowym[1]. Jeśli jest endomorfizmem samosprzężonym, to istnieje baza ortogonalna przestrzeni złożona z wektorów własnych endomorfizmu
Przypadek zespolony
Niech będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru nad ciałem liczb zespolonych z formą hermitowską dodatnio określoną[1]. Jeśli jest operatorem samosprzężonym, to istnieje baza ortogonalna przestrzeni złożona z wektorów własnych operatora
Wnioski
Przy założeniach powyższych twierdzeń:
- Istnieje baza ortonormalna przestrzeni . Wystarczy wektory bazy ortogonalnej unormować (tzn. każdy wektor podzielić przez jego normę).
- Endomorfizm jest diagonalizowalny.
Ograniczone operatory normalne
Niech będzie przestrzenią Hilberta oraz niech będzie operatorem ograniczonym i normalnym[2]. Wówczas istnieje dokładnie jedna miara spektralna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich widma operatora taka, że:
Uwagi
- Miara spektralna z powyższego twierdzenia jest nazywana rozkładem spektralnym operatora lub przedstawieniem spektralnym operatora
- Dla wygody, często rozważa się miarę spektralną jako zdefiniowaną dla wszystkich podzbiorów borelowskich zbioru Aby to uzyskać zdefiniujmy dodatkowo:
- jeżeli Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle A \cap \sigma(T) = \varnothing . }
Zobacz też
- ↑ a b Zauważmy, że przestrzeń o której mowa to szczególny przypadek przestrzeni Hilberta.
- ↑ W szczególności, normalne są operatory samosprzężone.
Źródła
- Serge Lang, Ryszard Bittner: Algebra. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1984, s. 360-365. ISBN 83-01-01519-5.
- Włodzimierz Mlak: Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, s. 257-265. ISBN 83-01-07376-4.
- Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001, s. 327-344. ISBN 83-01-13375-9.
- Eric W. Weisstein: Spectral Theorem - Wolfram MathWorld. [dostęp 10 lutego 2009]. (ang.).