Twierdzenie spektralne: Różnice pomiędzy wersjami

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
LaaknorBot (dyskusja | edycje)
m →‎Wnioski: poprawa linków
Linia 11: Linia 11:
Przy założeniach powyższych twierdzeń:
Przy założeniach powyższych twierdzeń:
# Istnieje [[baza ortonormalna]] przestrzeni <math> V </math>. Wystarczy wektory bazy ortogonalnej unormować (tzn. każdy wektor podzielić przez jego normę).
# Istnieje [[baza ortonormalna]] przestrzeni <math> V </math>. Wystarczy wektory bazy ortogonalnej unormować (tzn. każdy wektor podzielić przez jego normę).
# Endomorfizm <math> A </math> jest '''[[Diagonalizacja|diagonalizowalny]]'''.
# Endomorfizm <math> A </math> jest '''[[Endomorfizm diagonalizowalny|diagonalizowalny]]'''.


== Ograniczone operatory normalne ==
== Ograniczone operatory normalne ==

Wersja z 09:50, 16 lut 2009

Twierdzenie spektralne – wspólna nazwa twierdzeń algebry liniowej i analizy funkcjonalnej, charakteryzujących pewne szczególne operatory liniowe, określone na przestrzeniach Hilberta.

Operatory samosprzężone

Przypadek rzeczywisty

Niech będzie prezestrzenią ortogonalną nad ciałem liczb rzeczywistych z dodatnio określonym funkcjonałem dwuliniowym[1]. Jeśli jest endomorfizmem samosprzężonym, to istnieje baza ortogonalna przestrzeni złożona z wektorów własnych endomorfizmu

Przypadek zespolony

Niech będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru nad ciałem liczb zespolonych z formą hermitowską dodatnio określoną[1]. Jeśli jest operatorem samosprzężonym, to istnieje baza ortogonalna przestrzeni złożona z wektorów własnych operatora

Wnioski

Przy założeniach powyższych twierdzeń:

  1. Istnieje baza ortonormalna przestrzeni . Wystarczy wektory bazy ortogonalnej unormować (tzn. każdy wektor podzielić przez jego normę).
  2. Endomorfizm jest diagonalizowalny.

Ograniczone operatory normalne

Niech będzie przestrzenią Hilberta oraz niech będzie operatorem ograniczonym i normalnym[2]. Wówczas istnieje dokładnie jedna miara spektralna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich widma operatora taka, że:

Uwagi

  • Miara spektralna z powyższego twierdzenia jest nazywana rozkładem spektralnym operatora lub przedstawieniem spektralnym operatora
  • Dla wygody, często rozważa się miarę spektralną jako zdefiniowaną dla wszystkich podzbiorów borelowskich zbioru Aby to uzyskać zdefiniujmy dodatkowo:
jeżeli Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle A \cap \sigma(T) = \varnothing . }

Zobacz też

  1. a b Zauważmy, że przestrzeń o której mowa to szczególny przypadek przestrzeni Hilberta.
  2. W szczególności, normalne są operatory samosprzężone.

Źródła