Twierdzenie spektralne: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana]

Usunięta treść Dodana treść

Jednokolumnowy

Wersja z 22:49, 16 lut 2009

Twierdzenie spektralne – wspólna nazwa twierdzeń algebry liniowej i analizy funkcjonalnej, charakteryzujących pewne szczególne operatory liniowe, określone na przestrzeniach Hilberta.

Operatory samosprzężone

Przypadek rzeczywisty

Niech $V$ będzie prezestrzenią ortogonalną nad ciałem liczb rzeczywistych z dodatnio określonym funkcjonałem dwuliniowym^[1]. Jeśli $A:V\to V$ jest endomorfizmem samosprzężonym, to istnieje baza ortogonalna przestrzeni $V$ złożona z wektorów własnych endomorfizmu $A.$

Przypadek zespolony

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru nad ciałem liczb zespolonych z formą hermitowską dodatnio określoną^[1]. Jeśli $A:V\to V$ jest operatorem samosprzężonym, to istnieje baza ortogonalna przestrzeni $V$ złożona z wektorów własnych operatora $A.$

Wniosek

Przy założeniach powyższych twierdzeń:

Istnieje baza ortonormalna przestrzeni

V

złożona z wektorów własnych operatora

A

. Wystarczy wektory bazy ortogonalnej unormować (tzn. każdy wektor podzielić przez jego normę).

Operatory normalne

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta oraz niech $T:H\to H$ będzie operatorem normalnym^[2]. Wówczas istnieje dokładnie jedna miara spektralna $F$ określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich widma $\sigma (T)$ operatora $T$ taka, że:

T=\int \limits _{\sigma (T)}\lambda F(d\lambda )

Uwagi

Miara spektralna $F$ z powyższego twierdzenia jest nazywana rozkładem spektralnym operatora $T$ lub przedstawieniem spektralnym operatora $T.$
Dla wygody, często rozważa się miarę spektralną $F$ jako zdefiniowaną dla wszystkich podzbiorów borelowskich $B$ zbioru $\mathbb {C} .$ Aby to uzyskać zdefiniujmy dodatkowo:

F(B)=0

jeżeli

B\cap \sigma (T)=\varnothing .

Zobacz też

↑ ^a ^b Zauważmy, że przestrzeń o której mowa to szczególny przypadek przestrzeni Hilberta.
↑ W szczególności, normalne są operatory samosprzężone.

Źródła

Serge Lang, Ryszard Bittner: Algebra. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1984, s. 360-365. ISBN 83-01-01519-5.
Włodzimierz Mlak: Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, s. 257-265. ISBN 83-01-07376-4.
Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001, s. 327-344. ISBN 83-01-13375-9.
Eric W. Weisstein: Spectral Theorem - Wolfram MathWorld. [dostęp 10 lutego 2009]. (ang.).

[przHilb-1] Zauważmy, że przestrzeń o której mowa to szczególny przypadek przestrzeni Hilberta.

[2] W szczególności, normalne są operatory samosprzężone.

[1]

[2]

@@ Linia 12: / Linia 12: @@
 : Istnieje [[baza ortonormalna]] przestrzeni <math> V </math> złożona z wektorów własnych operatora <math> A </math>. Wystarczy wektory bazy ortogonalnej unormować (tzn. każdy wektor podzielić przez jego normę).
-== Ograniczone operatory normalne ==
+== Operatory normalne ==
-{{dopracować|Operatory normalne najczęściej definiuje się jako ciągłe (żeby istniał zawsze sprzężony), więc tutaj założenie ograniczoności jest zbędne albo podajemy szerszą definicję klasy operatorów normalnych; przyadałaby się uwaga o dowodzie, który wykorzystuje twierdzenie Riesza-Skorochoda; zastosowania to np rachunek funkcyjny operatorów dodatnich}}
+{{dopracować|<del>Operatory normalne najczęściej definiuje się jako ciągłe (żeby istniał zawsze sprzężony), więc tutaj założenie ograniczoności jest zbędne albo podajemy szerszą definicję klasy operatorów normalnych</del>; przyadałaby się uwaga o dowodzie, który wykorzystuje twierdzenie Riesza-Skorochoda; zastosowania to np rachunek funkcyjny operatorów dodatnich}}
-Niech <math> H </math> będzie [[przestrzeń Hilberta|przestrzenią Hilberta]] oraz niech <math> T : H \to H </math> będzie operatorem [[Operator ograniczony|ograniczonym]] i [[operator normalny|normalnym]]<ref> W szczególności, normalne są operatory samosprzężone.</ref>. Wówczas istnieje dokładnie jedna [[Hermitowska miara spektralna|miara spektralna]] <math> F </math> określona na [[sigma-ciało|σ-ciele]] [[Podzbiór|podzbiorów]] [[Zbiór borelowski|borelowskich]] [[widmo (matematyka)|widma]] <math> \sigma (T) </math> operatora <math> T </math> taka, że:
+Niech <math> H </math> będzie [[przestrzeń Hilberta|przestrzenią Hilberta]] oraz niech <math> T : H \to H </math> będzie operatorem [[operator normalny|normalnym]]<ref> W szczególności, normalne są operatory samosprzężone.</ref>. Wówczas istnieje dokładnie jedna [[Hermitowska miara spektralna|miara spektralna]] <math> F </math> określona na [[sigma-ciało|σ-ciele]] [[Podzbiór|podzbiorów]] [[Zbiór borelowski|borelowskich]] [[widmo (matematyka)|widma]] <math> \sigma (T) </math> operatora <math> T </math> taka, że:
 : <math> T = \int\limits_{\sigma (T)} \lambda F(d\lambda) </math>