Następnik liczby porządkowej

Następnik liczby porządkowej – podstawowa operacja przeprowadzana na liczbach porządkowych. Najbardziej znanym jej zastosowaniem jest konstrukcja zbiorów induktywnych, np. liczb naturalnych w konstrukcji von Neumanna.

Definicja

Następnikiem liczby porządkowej $\alpha$ nazywamy liczbę porządkową $\alpha \cup \{\alpha \}$ oznaczaną symbolem $\operatorname {S} (\alpha )$.

Własności

• Nie istnieje żadna liczba porządkowa pomiędzy $\alpha$ i $\operatorname {S} (\alpha )$,
• $\alpha \in \operatorname {S} (\alpha )$, a zarazem $\alpha \subset \operatorname {S} (\alpha )$.

Przykłady

• $\operatorname {S} (\varnothing )=\{\varnothing \}$,
• $\operatorname {S} \left(\{\varnothing \}\right)=\left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\}$,
• $\operatorname {S} \left(\left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\}\right)=\left\{\varnothing ,\{\varnothing \},\left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\}\right\}$.

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• aksjomaty i konstrukcje liczb
• graniczna liczba porządkowa
• zbiór potęgowy