Łańcuch Markowa

Przykład procesu Markowa

Proces Markowa – ciąg zdarzeń, w którym prawdopodobieństwo każdego zdarzenia zależy jedynie od wyniku poprzedniego. W ujęciu matematycznym, procesy Markowa to takie procesy stochastyczne, które spełniają własność Markowa.

Łańcuchy Markowa to takie procesy Markowa, które zdefiniowane są na dyskretnej przestrzeni stanów.

Łańcuch Markowa jest ciągiem X₁, X₂, X₃, ... zmiennych losowych. Dziedzinę tych zmiennych nazywamy przestrzenią stanów, a realizacje X_n to stany w czasie n. Jeśli rozkład warunkowy X_n+1 jest funkcją wyłącznie zmiennej X_n:

$P(X_{n+1}\leq y|X_{0},X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})=P(X_{n+1}\leq y|X_{n})$

to mówimy, że proces stochastyczny posiada własność Markowa.

Przedstawiona definicja zakłada czas dyskretny. Istnieją procesy Markowa z czasem ciągłym, jednak nie są one przedstawione w tym artykule.

Procesy Markowa zawdzięczają swoją nazwę ich twórcy Andriejowi Markowowi, który po raz pierwszy opisał problem w 1906 roku. Uogólnienie na przeliczalnie nieskończone przestrzenie stanów zostało opracowane przez Kołmogorowa w 1936. Łańcuchy Markowa mają związek z ruchami Browna oraz hipotezą ergodyczną, dwoma ważnymi w fizyce tematami, ale powstały jako uogólnienie prawa wielkich liczb na zdarzenia zależne.

Własności łańcuchów Markowa

Macierz przejścia

Jeśli przestrzeń stanów jest zbiorem skończonym, rozkład prawdopodobieństw przejść między poszczególnymi stanami może być przedstawiony jako macierz, zwaną macierzą prawdopodobieństw przejścia. Jest to macierz stochastyczna, oznaczamy ją literą P, gdzie elementy (i, j) są równe:

$P_{ij}=P(X_{n+1}=j\mid X_{n}=i)\,$

• czyli element $p_{13}$ oznacza prawdopodobieństwo przejścia ze stanu pierwszego do stanu trzeciego.

Na przestrzeni dyskretnej całkowanie k-tego stopnia macierzy przejścia jest zwykłym sumowaniem i może być obliczane jako k-ta potęga macierzy przejścia. Czyli jeśli P jest macierzą przejścia w jednym kroku, wówczas P^k jest macierzą przejścia w k krokach.

Rozkład stacjonarny

Rozkład prawdopodobieństw na przestrzeni stanów S nazywamy stacjonarnym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek

$P_{j}=\sum _{i\in S}\pi _{i}p_{ij},$

czyli

$\pi ^{T}\mathbf {P} =\pi ^{T},$

gdzie $\pi ^{T}$ jest transponowanym wektorem wierszowym $\pi$, a

$\sum _{i}\pi _{i}=1\quad \forall \pi _{i}\geq 0$.

Jeśli rozkład początkowy $\mathbf {x_{0}}$ jest stacjonarny, to każdy kolejny rozkład $\mathbf {x_{n}}$ również jest stacjonarny.

Może nie istnieć żaden, istnieć jeden lub więcej niż jeden rozkład stacjonarny dla danego procesu.

Zobacz też

• Andriej Kołmogorow
• Andriej Markow
• Przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• Własność Markowa

Bibliografia

1. Maria Podgórska i in.: Łańcuchy Markowa w teorii i zastosowaniach. Warszawa: Szkoła Główna Handlowa Oficyna Wydawnicza, 2002.