Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
WP:SK, drobne techniczne |
m polskie znaki |
||
Linia 40: | Linia 40: | ||
''m<sub>b</sub>≈[[Nukleony|m<sub>n</sub>]]'': |
''m<sub>b</sub>≈[[Nukleony|m<sub>n</sub>]]'': |
||
::::: <math>M_b=m_bA_b\,.</math> |
::::: <math>M_b=m_bA_b\,.</math> |
||
Różnica |
Różnica pomiędzy tymi masami jest analogiem [[Energia wiązania|energii wiązania]], znanej z fizyki jądrowej: |
||
::::: <math>E_b=M_b-M\,.</math> |
::::: <math>E_b=M_b-M\,.</math> |
||
Dla typowego równania stanu, [[gwiazda neutronowa]] o masie M=1,4 [[Masa Słońca|masy Słońca]] jest związana energią ''E<sub>b</sub>≈0,1M''. |
Dla typowego równania stanu, [[gwiazda neutronowa]] o masie M=1,4 [[Masa Słońca|masy Słońca]] jest związana energią ''E<sub>b</sub>≈0,1M''. |
Wersja z 03:11, 30 gru 2010
Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa (równanie TOV) – szczególny przypadek równań Einsteina, jego rozwiązanie przedstawia strukturę sferycznie symetrycznego i statycznego rozkładu materii opisanej danym równaniem stanu. Stosowane jest przede wszystkim przy modelowaniu budowy gwiazd o bardzo silnym polu grawitacyjnym (na przykład gwiazd neutronowych).
Założenia
Poniżej przedstawiono zarys wyprowadzenia równania. Ogólną metrykę sferycznie symetrycznego i niezależnego od czasu rozkładu materii można zapisać w następujący sposób:
gdzie standardowo t jest współrzędną czasową, r radialną a θ i φ kątowymi (odpowiednio, zenitalną i azymutalną). Zakładamy także, że materia jest nielepka, nie przewodzi ciepła i nie wykazuje napięć ścinających tj. tensor napięć-energii jest taki jak dla płynu doskonałego w Ogólnej Teorii Względności. Biorąc pod uwagę barotropowe równanie stanu (ciśnienie p jest funkcją tylko jednej zmiennej, gęstości masy-energii ρ), dostajemy następujący związek z funkcją metryczną ν(r):
funkcją λ(r):
a także związek pomiędzy masą zawartą w sferze o promieniu r a promieniem tej sfery, M(0)=0:
Przy tych założeniach równania Einsteina redukują się do
równanie TOV jest zatem niutonowskim równaniem równowagi hydrostatycznej zmodyfikowanym przez człony relatywistyczne (w nawiasach).
Warunki brzegowe
Jeśli równanie opisuje gwiazdę w próżni, do rozwiązania używa się następujących warunków brzegowych:
- znikanie ciśnienia na powierzchni gwiazdy, p(R) = 0 (warunek ten wyznacza współrzędną r = R, czyli promień gwiazdy),
- zszywania się rozwiązania dla wnętrza gwiazdy z rozwiązaniem zewnętrznym, opisywanym metryką Schwarzschilda:
dla r≥R funkcja metryczna eν(r) = 1 - 2GM/rc2, gdzie M jest całkowitą grawitacyjną masą gwiazdy mierzoną przez odległego obserwatora.
Masa grawitacyjna, masa barionowa, energia wiązania dla gwiazdy neutronowej
Pamiętając o tym, że element objętości dV pomiędzy sferami o promieniach r oraz r + dr jest równy
wyrażenie opisujące całkowitą masę grawitacyjną M gwiazdy przyjmuje następującą postać:
Liczba barionów w gwieździe
gdzie nb(r) jest gęstością barionową tj. liczbą barionów w określonej objętości (zwyczajowo fm3). Ab dla gwiazdy neutronowej o typowej masie grawitacyjnej 1,4 masy Słońca jest rzędu 1057 cząstek.
Masa barionowa (zwana również masą spoczynkową) jest równa liczbie barionowej Ab gwiazdy mnożonej przez masę barionu mb≈mn:
Różnica pomiędzy tymi masami jest analogiem energii wiązania, znanej z fizyki jądrowej:
Dla typowego równania stanu, gwiazda neutronowa o masie M=1,4 masy Słońca jest związana energią Eb≈0,1M.
Rozwiązanie dla przypadku materii nieściśliwej
W ogólnym przypadku nie istnieje rozwiązanie analityczne tj. zależność gęstości, ciśnienia od odległości od centrum gwiazdy itd. należy otrzymać numerycznie. Równanie TOV można rozwiązać analitycznie dla równania stanu ρ = const. Mamy wtedy:
Korzystając z tego związku równanie równowagi hydrostatycznej można analitycznie scałkować. Otrzymujemy:
Zwiększanie masy gwiazdy prowadzi do wzrostu ciśnienia centralnego, pc = p(r=0). Warunek pc = ∞ stanowi ograniczenie na stosunek promienia Schwarzschilda do promienia gwiazdy:
Ograniczenie to, dla ustalonej gęstości, wyznacza maksymalną masę gwiazdy, czyli granicę TOV.
Historia
Równanie TOV w postaci przedstawionej powyżej zostało opublikowane w roku 1939 w czasopiśmie naukowym "Physical Review" przez Roberta Oppenheimera i Georga M. Volkoffa w artykule pt. "On Massive Neutron Cores"[2], jednak fundamentalne znaczenie mają prace Richarda C. Tolmana z roku 1934, pt. "Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models"[3] oraz 1939 r., pt. "Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid"[4], w których przeprowadził analizę sferycznie symetrycznych metryk.
- ↑ F. Douchin, P. Haensel, A unified equation of state of dense matter and neutron star structure, Astron. Astrophys. 380, 151 (2001)
- ↑ J. R. Oppenheimer, G. M. Volkoff, On Massive Neutron Cores, Phys. Rev. 55, 374 (1939)
- ↑ R. C. Tolman, Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models, Proc Natl Acad Sci U S A., 20(3), 169 (1934)
- ↑ R. C. Tolman, Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid, Phys. Rev. 55, 364 (1939)