Ortogonalność: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m robot dodaje: sl:Ortogonalnost |
drobne techniczne |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
{{disambigR| |
{{disambigR|pojęcia matematycznego|[[ortogonalność grup ochronnych]] w [[chemia|chemii]]}} |
||
{{spis treści}} |
|||
'''Ortogonalność''' (z gr. ''ortho'' – proste, ''gonia'' – kąt) – uogólnienie pojęcia [[prostopadłość|prostopadłości]] znanego z [[ |
'''Ortogonalność''' (z gr. ''ortho'' – proste, ''gonia'' – kąt) – w [[matematyka|matematyce]] uogólnienie pojęcia [[prostopadłość|prostopadłości]] znanego z [[geometria euklidesowa|geometrii euklidesowej]] na abstrakcyjne [[przestrzeń (matematyka)|przestrzenie]] z określonym [[iloczyn skalarny|iloczynem skalarnym]], czyli tzw. ''[[przestrzeń unitarna|przestrzenie unitarne]]''. |
||
== Motywacja == |
|||
Niech dane będą dwa [[wektor]]y [[baza (przestrzeń liniowa)|trójwymiarowej]] [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]], |
|||
: <math>\mathbf a = [a_x, a_y, a_z]</math> oraz <math>\mathbf b = [b_x, b_y, b_z]</math> |
|||
o długościach odpowiednio |
|||
: <math>|\mathbf a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}</math> oraz <math>|\mathbf b| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}.</math> |
|||
Z kolei wektor |
|||
: <math>\mathbf{b - a} = [b_x - a_x, b_y - a_y, b_z - a_z]</math> |
|||
ma długość |
|||
: <math>|\mathbf{b - a}| = \sqrt{(b_x - a_x)^2 + (b_y - a_y)^2 + (b_z - a_z)^2}.</math> |
|||
Wartości <math>\scriptstyle |\mathbf a|, |\mathbf b|, |\mathbf{b - a}|</math> są długościami boków [[trójkąt]]a <math>\mathrm{oab},</math> gdzie <math>\mathrm o = (0, 0, 0)</math> jest [[początek (matematyka)|początkiem układu]]. Wektory <math>\scriptstyle \mathbf a, \mathbf b</math> są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy wspomniany trójkąt jest [[trójkąt prostokątny|prostokątny]], a więc spełnia [[twierdzenie Pitagorasa]] |
|||
: <math>|\mathbf{b-a}|^2 = |\mathbf a|^2 + |\mathbf b|^2,</math> |
|||
co oznacza, iż |
|||
: <math>(b_x - a_x)^2 + (b_y - a_y)^2 + (b_z - a_z)^2 = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 + b_x^2 + b_y^2 + b_z^2,</math> |
|||
a ze [[wzory skróconego mnożenia|wzorów skróconego mnożenia]] wynika |
|||
: <math>-2a_x b_x - 2a_y b_y - 2a_z b_z = 0,</math> |
|||
co daje równość |
|||
: <math>a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0,</math> |
|||
która wyrażona za pomocą [[iloczyn skalarny|standardowym iloczynem skalarnym]] przestrzeni euklidesowej, |
|||
: <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = 0,</math> |
|||
jest podstawą definicji ortogonalności w ogólnych przestrzeniach wyposażonych w iloczyn skalarny. |
|||
== Definicja == |
== Definicja == |
||
Niech <math>\scriptstyle X</math> będzie [[przestrzeń unitarna|przestrzenią unitarną]] wyposażoną w iloczyn skalarny <math>\scriptstyle \langle \cdot, \cdot\rangle.</math> Elementy <math>\scriptstyle x, y</math> tej nazywa się '''ortogonalnymi''' zapisując często <math>\scriptstyle x \perp y,</math> gdy |
|||
:<math>\langle x, y\rangle = 0</math> |
: <math>\langle x, y \rangle = 0.</math> |
||
Zdanie ''elementy <math>x</math> i <math>y</math> są ortogonalne'' zapisuje się krótko <math>x \perp y</math>. Podzbiór <math>A\subseteq X</math> nazywamy ortogonalnym, gdy każde dwa różne elementy tego zbioru są ortogonalne. Zbiory o tej własności często nazywane są układami ortogonalnymi. |
|||
Układ <math>\scriptstyle A</math> elementów przestrzeni <math>\scriptstyle X</math> nazywa się '''układem ortogonalnym''', jeżeli każde dwa różne jego elementy są ortogonalne – wynika stąd w szczególności, że każdy taki układ musi być [[podzbiór|podzbiorem]] przestrzeni <math>\scriptstyle X.</math> |
|||
; Uwaga: [[Wektor zerowy]] jest ortogonalny do każdego wektora przestrzeni unitarnej. Często zamiast o ortogonalności, mówi się o ''prostopadłości'' danych wektorów, choć przypadek wektora zerowego pokazuje, że intuicje geometryczne nie zawsze są w tym przypadku pomocne. |
|||
Zasadniczą różnicą między prostopadłością a ortogonalnością jest fakt, iż prostopadłość wymaga pojęcia odległości (''[[przestrzeń metryczna|metryki]]''), która umożliwia zdefiniowanie [[przystawanie|przystawania]], podczas gdy do zdefiniowania ortogonalności potrzeba jedynie iloczynu skalarnego, za pomocą którego można wprowadzić pojęcie długości (''[[przestrzeń unormowana|normę]]''), a dzięki niemu – odległość. W przypadku euklidesowym pojęcia te właściwie pokrywają się (ma to związek z żądaniem zgodności odpowiednich struktur), co znajduje swe odzwierciedlenie w stosowanej nomenklaturze (o elementach ortogonalnych mówi się często, szczególnie w [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeniach euklidesowych]], że są ''prostopadłe'') i oznaczeniach (w obu przypadkach korzysta się z symbolu <math>\scriptstyle \perp</math>). Mimo wszystko pojęcia te nie są równoważne nawet w tej sytuacji: [[wektor zerowy]] (opisujący w istocie punkt – [[początek (matematyka)|początek przestrzeni]]) jest ortogonalny do każdego wektora, choć trudno mówić o jego prostopadłości względem innego wektora. |
|||
== Przykłady == |
== Przykłady == |
||
; Przestrzenie euklidesowe |
|||
{{seealso|przestrzeń euklidesowa}} |
|||
W |
W przestrzeni euklidesowej <math>\mathbb R^2</math> ze standardowym iloczynem skalarnym |
||
: <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = [a_x, a_y] \cdot [b_x, b_y] = a_x b_y + a_y b_y.</math> |
|||
wektory |
|||
* <math>[-1, 3]</math> i <math>[3, 1]</math> są ortogonalne (oraz prostopadłe), ponieważ |
* <math>[-1, 3]</math> i <math>[3, 1]</math> są ortogonalne (oraz prostopadłe), ponieważ |
||
*: <math>[-1, 3] \ |
*: <math>[-1, 3] \cdot [3, 1] = -1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 0</math>; |
||
* <math>[0, 0]</math> i <math>[3, 1]</math> są ortogonalne (ale ''nie'' są prostopadłe), gdyż |
* <math>[0, 0]</math> i <math>[3, 1]</math> są ortogonalne (ale ''nie'' są prostopadłe), gdyż |
||
*: <math>[0, 0] \ |
*: <math>[0, 0] \cdot [3, 1] = 0 \cdot 3 + 0 \cdot 1 = 0.</math> |
||
⚫ | |||
⚫ | Ortogonalność pojawia się również w kontekście |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
{{seealso|przestrzeń funkcyjna}} |
|||
⚫ | Ortogonalność pojawia się również w kontekście przestrzeni funkcyjnych, gdzie określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o ''funkcjach ortogonalnych'', czy ''[[wielomiany ortogonalne|wielomianach ortogonalnych]]''. Klasycznym przykładem jest tutaj [[przestrzeń Lp|przestrzeń <math>\scriptstyle \color{blue} L^2[a, b],</math>]] tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale <math>\scriptstyle [a, b]</math> o wartościach [[liczby zespolone|zespolonych]], [[funkcja całkowalna|całkowalnych]] w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów <math>\scriptstyle f</math> i <math>\scriptstyle g</math> tej przestrzeni definiuje się wzorem |
||
⚫ | |||
Jeżeli [ |
Jeżeli <math>\scriptstyle [a, b] = [-\pi, \pi],</math> to ważnym przykładem układu ortogonalnego, studiowanego w [[analiza harmoniczna|analizie harmonicznej]] jest rodzina |
||
:<math>\left\{ |
:<math>\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sin nx}{\sqrt \pi}, \frac{\cos nx}{\sqrt \pi}\colon n\in \mathbb N\right\}.</math> |
||
Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. [[wielomiany Legendre'a]] czy [[wielomiany Czebyszewa]]. |
Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. [[wielomiany Legendre'a]] czy [[wielomiany Czebyszewa]]. |
||
== Zobacz też == |
== Zobacz też == |
||
* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki|przegląd zagadnień z zakresu matematyki]], |
|||
* [[macierz ortogonalna]], |
* [[macierz ortogonalna]], |
||
* [[ortogonalizacja Grama-Schmidta]], |
* [[ortogonalizacja Grama-Schmidta]], |
Wersja z 18:06, 27 lut 2011
Ortogonalność (z gr. ortho – proste, gonia – kąt) – w matematyce uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, czyli tzw. przestrzenie unitarne.
Motywacja
Niech dane będą dwa wektory trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej,
- oraz
o długościach odpowiednio
- oraz Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle |\mathbf b| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}.}
Z kolei wektor
ma długość
Wartości są długościami boków trójkąta gdzie jest początkiem układu. Wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy wspomniany trójkąt jest prostokątny, a więc spełnia twierdzenie Pitagorasa
co oznacza, iż
a ze wzorów skróconego mnożenia wynika
co daje równość
która wyrażona za pomocą standardowym iloczynem skalarnym przestrzeni euklidesowej,
jest podstawą definicji ortogonalności w ogólnych przestrzeniach wyposażonych w iloczyn skalarny.
Definicja
Niech będzie przestrzenią unitarną wyposażoną w iloczyn skalarny Elementy tej nazywa się ortogonalnymi zapisując często Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle \scriptstyle x \perp y,} gdy
Układ elementów przestrzeni nazywa się układem ortogonalnym, jeżeli każde dwa różne jego elementy są ortogonalne – wynika stąd w szczególności, że każdy taki układ musi być podzbiorem przestrzeni
Zasadniczą różnicą między prostopadłością a ortogonalnością jest fakt, iż prostopadłość wymaga pojęcia odległości (metryki), która umożliwia zdefiniowanie przystawania, podczas gdy do zdefiniowania ortogonalności potrzeba jedynie iloczynu skalarnego, za pomocą którego można wprowadzić pojęcie długości (normę), a dzięki niemu – odległość. W przypadku euklidesowym pojęcia te właściwie pokrywają się (ma to związek z żądaniem zgodności odpowiednich struktur), co znajduje swe odzwierciedlenie w stosowanej nomenklaturze (o elementach ortogonalnych mówi się często, szczególnie w przestrzeniach euklidesowych, że są prostopadłe) i oznaczeniach (w obu przypadkach korzysta się z symbolu ). Mimo wszystko pojęcia te nie są równoważne nawet w tej sytuacji: wektor zerowy (opisujący w istocie punkt – początek przestrzeni) jest ortogonalny do każdego wektora, choć trudno mówić o jego prostopadłości względem innego wektora.
Przykłady
- Przestrzenie euklidesowe
- Zobacz też:
W przestrzeni euklidesowej ze standardowym iloczynem skalarnym
wektory
- i są ortogonalne (oraz prostopadłe), ponieważ
- ;
- i są ortogonalne (ale nie są prostopadłe), gdyż
- Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle [0, 0] \cdot [3, 1] = 0 \cdot 3 + 0 \cdot 1 = 0.}
- Przestrzenie funkcyjne
- Zobacz też:
Ortogonalność pojawia się również w kontekście przestrzeni funkcyjnych, gdzie określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o funkcjach ortogonalnych, czy wielomianach ortogonalnych. Klasycznym przykładem jest tutaj przestrzeń tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale o wartościach zespolonych, całkowalnych w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów i tej przestrzeni definiuje się wzorem
Jeżeli to ważnym przykładem układu ortogonalnego, studiowanego w analizie harmonicznej jest rodzina
Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. wielomiany Legendre'a czy wielomiany Czebyszewa.