Ortogonalność: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
drobne merytoryczne, drobne redakcyjne |
drobne redakcyjne |
||
Linia 18: | Linia 18: | ||
która upraszcza się do wyrażenia |
która upraszcza się do wyrażenia |
||
: <math>a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0\,</math>. |
: <math>a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0\,</math>. |
||
Lewa strona powyższej równości pokrywa się ze wzorem na [[iloczyn skalarny]] wektorów <math>a</math> i <math>b</math> w przestrzeni trójwymiarowej. |
|||
== Definicja == |
== Definicja == |
||
Linia 29: | Linia 29: | ||
{{seealso|przestrzeń euklidesowa}} |
{{seealso|przestrzeń euklidesowa}} |
||
Wektory <math>[-1, 3]</math> i <math>[3, 1]</math> na płaszczyźnie są ortogonalne (prostopadłe), ponieważ |
Wektory <math>[-1, 3]</math> i <math>[3, 1]</math> na płaszczyźnie są ortogonalne (prostopadłe), ponieważ |
||
:<math>[-1, 3] \cdot [3, 1] = -1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 0</math> |
:<math>[-1, 3] \cdot [3, 1] = -1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 0</math>. |
||
Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora. |
Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora. |
||
Wersja z 23:36, 12 mar 2011
Ortogonalność (z gr. ortho – proste, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność)[1].
Prostopadłość wektorów w przestrzeni trójwymiarowej
Długość wektora w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej wyraża się wzorem
- .
Jeżeli i są wektorami z przestrzeni trójwymiarowej, to długość wektora wynosi
Liczby są długościami boków trójkąta , gdzie .
Wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt jest prostokątny, a więc spełnia założenia twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa
tzn.
Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy do powyższej równości implikuje równość
- ,
która upraszcza się do wyrażenia
- .
Lewa strona powyższej równości pokrywa się ze wzorem na iloczyn skalarny wektorów i w przestrzeni trójwymiarowej.
Definicja
Elementy i przestrzeni unitarnej z iloczynem skalarnym nazywa się ortogonalnymi, gdy
Relację zapisuje się symbolicznie . Podzbiór przestrzeni unitarnej nazywa się układem ortogonalnym, gdy każde dwa różne jego elementy są ortogonalne.
Przykłady
- Przestrzenie euklidesowe
- Zobacz też:
Wektory i na płaszczyźnie są ortogonalne (prostopadłe), ponieważ
- .
Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora.
- Przestrzenie funkcyjne
Ortogonalność pojawia się również w kontekście przestrzeni funkcyjnych, gdzie określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o funkcjach ortogonalnych, czy wielomianach ortogonalnych. Klasycznym przykładem jest przestrzeń , tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale o wartościach zespolonych, całkowalnych w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów i tej przestrzeni definiuje się wzorem
W przypadku, gdy , to rodzina funkcji
jest przykładem układu ortogonalnego. Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. wielomiany Legendre'a czy wielomiany Czebyszewa.
- ↑ Roman Ger: Orthogonalities in linear spaces and difference operators, Aequationes Mathematicae Volume 60, Number 3, 268-282, DOI:10.1007/s000100050153