Układ hybrydowy (automatyka)

Układ hybrydowy - to układ dynamiczny, który wykazuje zarówno ciągłe jak i dyskretne własności dynamiczne.

Poglądowo rzecz ujmując jest to system, który może zarówno "płynąć" (co daje się opisać równaniami różniczkowymi) jak i może "przeskakiwać" (co opisuje się równaniami różnicowymi albo grafami sterowań). Często termin "hybrydowy układ dynamiczny" bywa używany by odróżnić taki układ od układów hybrydowych, które łączą w sobie sieci neuronowe lub logikę rozmytą albo elektryczne lub mechaniczne układy napędowe. Układ hybrydowy ma tą zaletę, że ujmuje w swej strukturze szerszą klasę układów co pozwala na większą swobodę przy modelowaniu zjawisk dynamiki.

W ogólności, stan układu hybrydowego jest zdefiniowany przez wartości "zmiennych ciągłych" i dyskretny tryb sterowania. Stan zmienia się albo w sposób ciągły, zgodnie z uwarunkowaniami przepływu, albo dyskretnie według tak zwanego "grafu sterowania". Przepływ ciągły dozwolony jest tak długo jak długo obowiązują tak zwane "niezmienniki", podczas gdy dyskretne przejścia mogą nastąpić gdy tylko zostaną spełnione określone "warunki przejścia". Przejścia dyskretne mogą być powiązane ze "zdarzeniami".

Przykłady

Układy hybrydowe były używane do modelowania różnych układów, w tym układów fizycznych z "uderzeniem", regulatorów z dynamiką opartą na logice, a nawet przeciązeń sieci internetowej.

Odbijająca się piłka

Klasycznym przykładem układu hybrydowego jest odbijająca się piłka czyli układ fizyczny z "uderzeniem". W przykładzie tym piłka (rozumiana jako punkt masy) upuszczana jest z początkowej wysokości i odbija się od podłoża, rozpraszajac energię przy każdym odbiciu. Piłka taka, pomiędzy każdym odbiciem, wykazuje dynamikę ciągłą; jednkaże gdy piłka uderzy o podłoże jej prędkość podlega zmianie dyskretnej modelowanej przez zderzenie niesprzężyste. Można sformułować opis matematyczny odbijającej się piłki. Niech $x_{1}\,$ oznacza wysokość piłki a $x_{2}\,$ jej prędkość. Układ hybrydowy opisujący piłkę przedstawia się następująco:

Gdy $x\in C=\{x_{1}>0\}$, przepływ opisany jest równaniami ${\dot {x_{1}}}=x_{2},{\dot {x_{2}}}=-g$, gdzie $g$ to przyspieszenie wywołane siłą ciążenia. Równania te stanowią, że gdy piłka znajduje się powyżej podłoża to jest ściągna do podłoża przez siły grawitacji.

Gdy $x\in D=\{x_{1}=0\}$, odbicia piłki opisane są równaniami $x_{1}^{+}=x_{1},x_{2}^{+}=-\gamma x_{2}$, gdzie $0<\gamma <1$ jest czynnikiem rozproszenia. Oznacza on tyle, że gdy piłka znajduje się na wysokości równej zero (uderzyła właśnie o podłoże), jej prędkość ulega zmianie i zostaje zminiejszona o czynnik $\gamma$. W efekcie opisuje to naturę zderzenia nieelastycznego.

Odbijająca się piłka stanowi szczególnie interesujący układ hybrydowy gdyż wykazuje zachowanie Zenona. Zachowanie Zenona ma swoją ścisłą definicję matematyczną, ale można je poglądowo opisać jako układ wykonujacy nieskończoną ilość skoków w skończonym okresie czasu. W przytoczonym przykładzie za każdym razem gdy piłka odbija się traci energię przez co kolejne odbicia (uderzenia o podłoże) mają miejsce w coraz krótszych odstępach czasu.

Warto przy tym zauważyć, że model układu dynamicznego jest kompletny wtedy i tylko wtedy jeśli doda się siłę kontaktową pomiędzy podłożem a piłką. W istocie, bez sił, nie można odpowiednio zdefiniować odbijającej się piłki i model, z mechanicznego punktu widzenia, traci sens. Najprostszy model kontaktu, który przedstawia interakcje pomiędzy piłką i podłożem, to związek wzajemnego uzupełniania się siły i odległości (odstępu) pomiędzy piłką i podłożem. Można to zapisać jako $0\leq \lambda \perp x_{1}\geq 0$ Taki model kontaktu nie ujmuje w sobie sił magnetycznych ani efektów lepkości. Gdy związki wzajemnego uzupełniania się zostały zamodelowane można kontynuować integrację układu po tym jak uderzenie zostało zaakumulowane i zanikło: równowaga układu jest dobrze zdefiniowana jako równowaga statyczna piłki na podłożu, przy działaniu siły ciężkości skompensowanej przez siłę kontaktową $\lambda$. Z podstawowej analizy wypukłej wynika, że związek wzajemnego uzupełniania się można równoważnie zapisać jako zawartość w stożku normalnym, tak że dynamika odbijającej się piłki stanowi włączenie różnicowe do stożka normalnego dla zbioru wypukłego.