Liczba przeciwna: Różnice pomiędzy wersjami

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
[wersja przejrzana][wersja nieprzejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
KamikazeBot (dyskusja | edycje)
odlinkowanie Skarbnicy Wikipedii i przekierowań do niej
gramatyka
Linia 1: Linia 1:
'''Liczba przeciwna''' do danej liczby <math>a,\;</math> to taka liczba <math>-a,\;</math> że zachodzi:
'''Liczba przeciwna''' do danej liczby <math>a,\;</math> to taka liczba <math>-a,\;</math> gdzie zachodzi zachodzi:
:<math>a+(-a)=0\;</math>
:<math>a+(-a)=0\;</math>
gdzie <math>0\;</math> jest [[element neutralny|elementem zerowym]] działania [[dodawanie|dodawania]].
gdzie <math>0\;</math> jest [[element neutralny|elementem zerowym]] działania [[dodawanie|dodawania]].

Wersja z 20:35, 11 mar 2012

Liczba przeciwna do danej liczby to taka liczba gdzie zachodzi zachodzi:

gdzie jest elementem zerowym działania dodawania.

Przykład:

  • liczbą przeciwną do liczby 3 jest liczba -3

W szczególności:

  • liczbą przeciwną do zera jest zero.
  • liczbą przeciwną do przeciwnej do x jest liczba x.

W zbiorach liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna. Zbiory te wraz z dodawaniem są bowiem w szczególnym przypadkiem tzw. grup – a jeden z aksjomatów grupy wymaga istnienia elementu odwrotnego do każdego elementu zbioru.

W zbiorach liczb naturalnych, oraz w klasach liczb kardynalnych i porządkowych nie jest to już prawda – liczby ujemne nie należą do zbioru liczb naturalnych, a dla nieskończonych liczb kardynalnych i porządkowych liczby przeciwne w ogóle nie są zdefiniowane, o ile nie wprowadzimy ich sztucznie, np. tak jak w liczbach nadrzeczywistych.

Uogólnienie na grupy uporządkowane

Z punktu widzenia algebry jest to pojęcie elementu odwrotnego do danego wyrażone w terminologii addytywnej.

Jeżeli w grupie jest określony porządek liniowy spełniający[1][2]

to

  • elementy dla których , nazywamy niedodatnimi
  • elementy dla których , nazywamy nieujemnymi
  • elementy niedodatnie niezerowe nazywamy ujemnymi
  • elementy nieujemne niezerowe nazywamy dodatnimi

Takimi grupami są wspomniane wyżej grupy liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych (ale nie zespolonych).

Wówczas, jak łatwo sprawdzić:

  • element przeciwny do dodatniego jest ujemny
  • element przeciwny do ujemnego jest dodatni

Warto wspomnieć jeszcze, że np. grupach z dodawaniem modulo n gdzie n jest parzyste istnieją elementy niezerowe, które są przeciwne do samych siebie.

Zobacz też