Liczby wymierne: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
łucja jest super |
m Wycofano edycje użytkownika 217.97.247.13 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to GrouchoBot. |
||
Linia 12: | Linia 12: | ||
W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa [[działanie dwuargumentowe|działania]] |
W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa [[działanie dwuargumentowe|działania]] |
||
* <math>[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]</math>, |
* <math>[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]</math>, |
||
* <math>[(a,b)] \cdot [(c,d)] = [(ac,bd)]</math>. |
* <math>[(a,b)] \cdot [(c,d)] = [(ac,bd)]</math>. |
||
Parę <math>(a, b)</math> zapisuje się zwykle w postaci ułamka <math>\tfrac{a}{b}</math>, bądź jeśli <math>b=1</math>, to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą <math>a</math>. |
Parę <math>(a, b)</math> zapisuje się zwykle w postaci ułamka <math>\tfrac{a}{b}</math>, bądź jeśli <math>b=1</math>, to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą <math>a</math>. |
Wersja z 19:05, 4 paź 2012
Szablon:Definicja Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem . Wobec tego:
- .
Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. liczby całkowite i liczby naturalne.
Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób:
Niech w zbiorze par liczb całkowitych , których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności
- wtedy i tylko wtedy, gdy .
W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania
- ,
- .
Parę zapisuje się zwykle w postaci ułamka , bądź jeśli , to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą .
Własności
- Liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią ciało.
- Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli jest to zbiór przeliczalny (co oznacza się ).
- Jako podzbiór przestrzeni liczb rzeczywistych , liczby wymierne są gęste w .