Operator identycznościowy

Operator jednostkowy – operator, który działając na dany wektor stanu daje ten sam wektor. Działanie operatora jednostkowego jest równoważne pomnożeniu przez 1.

${\hat {I}}|\psi \rangle =|\psi \rangle$

$\langle \psi |{\hat {I}}=\langle \psi |$

W mechanice kwantowej wektor jednostkowy bardzo często zapisuje się wykorzystując wektory bazy przestrzeni Hilberta |α>:

${\hat {I}}=\sum _{\alpha }|\alpha \rangle \langle \alpha |$

Powyższy zapis nazywa się często rozkładem jedynki. Z definicji bazy każdy wektor |ψ> da się zapisać w postaci:

$\left.|\psi \rangle =\sum _{\alpha }c_{\alpha }|\alpha \rangle \right.$

Gdzie współczynniki c_α są reprezentacją wektora w bazie |α>:

$\left.c_{\alpha }=\sum _{\alpha }\langle \alpha |\psi \rangle \right.$

Z powyższego wynika, że:

${\hat {I}}|\psi \rangle =\sum _{\alpha }|\alpha \rangle \langle \alpha |\psi \rangle =\sum _{\alpha }c_{\alpha }|\alpha \rangle =|\psi \rangle$

Analogiczne równania obowiązują dla wektorów bra.