Wartość oczekiwana: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
→Definicja: całka lebesgue'a |
m →Zmienna ciągła: drobne redakcyjne |
||
Linia 11: | Linia 11: | ||
=== Zmienna ciągła === |
=== Zmienna ciągła === |
||
Jeżeli <math>X</math> jest [[ciągły rozkład prawdopodobieństwa|zmienną losową typu ciągłego]] zdefiniowaną na [[przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] <math>(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)</math>, to wartość oczekiwaną zmiennej losowej <math>X</math> definiuje się jako [[całka |
Jeżeli <math>X</math> jest [[ciągły rozkład prawdopodobieństwa|zmienną losową typu ciągłego]] zdefiniowaną na [[przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] <math>(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)</math>, to wartość oczekiwaną zmiennej losowej <math>X</math> definiuje się jako [[całka|całkę]] |
||
: <math>\mathbb EX = \int\limits_\Omega X d\mathbb P</math> |
: <math>\mathbb EX = \int\limits_\Omega X d\mathbb P</math> |
||
o ile powyższa całka istnieje, tzn. jeżeli: |
o ile powyższa całka istnieje, tzn. jeżeli: |
Wersja z 23:06, 5 sty 2013
Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – w rachunku prawdopodobieństwa wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.
Definicja
Zmienna dyskretna
Niech będzie zmienną losową typu dyskretnego. Wartością oczekiwaną nazywa się sumę iloczynów wartości tej zmiennej losowej oraz prawdopodobieństw z jakimi są one przyjmowane.
Jeżeli dyskretna zmienna losowa przyjmuje wartości z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio , to wartość oczekiwana zmiennej losowej wyraża się wzorem
- .
Jeżeli zmienna przyjmuje nieskończenie ale przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje w miejsce (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).
Zmienna ciągła
Jeżeli jest zmienną losową typu ciągłego zdefiniowaną na przestrzeni probabilistycznej , to wartość oczekiwaną zmiennej losowej definiuje się jako całkę
o ile powyższa całka istnieje, tzn. jeżeli:
- .
Właściwości
Jeśli jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa , to jej wartość oczekiwana wynosi
- .
Jeżeli jest funkcją mierzalną, to
- .
Jeśli istnieją oraz , to:
- , gdzie jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
- (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
- jeżeli są niezależne, to ,
- jeżeli prawie wszędzie, to ,
- .
W mechanice kwantowej
Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator dla stanu kwantowego układu opisywanego funkcją falową wynosi , gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.
W notacji Diraca wzór ten można zapisać: .
Nieoznaczoność wartości oczekiwanej , czyli wariancja , wynosi .
Zobacz też
Bibliografia
Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 79. ISBN 83-89716-01-1.