Inwolucja (matematyka)

Inwolucja – w matematyce funkcja, która ma funkcję odwrotną równą jej samej. Równoważnie jest to taka funkcja, która złożona sama ze sobą jest tożsamością.

Z powyższych definicji wynika, że inwolucja musi być funkcją zbioru w siebie; jeśli $\scriptstyle f\colon X\to X$ jest taką funkcją i dla dowolnego $\scriptstyle x\in X$ zachodzi warunek $\scriptstyle f\displaystyle (\scriptstyle f(x)\displaystyle )\scriptstyle =x,$ bądź $\scriptstyle f\circ f=\mathrm {id} _{X},$ to funkcję tę nazywa się inwolucją (druga definicja uogólnia się w teorii kategorii na morfizmy).

Własności

Inwolucja zbioru.

Każda inwolucja, jako funkcja odwracalna, jest bijekcją (w przypadku morfizmów – izomorfizmem). Ponadto dla dowolnego $\scriptstyle k\in \mathbb {N}$ jest

$f^{2k}=\mathrm {id} _{X}{\text{ oraz }}f^{2k+1}(x)=f.$

Jeśli $\scriptstyle X^{Y}$ oznacza zbiór wszystkich funkcji $\scriptstyle X\to Y,$ zaś $\scriptstyle i\colon Y\to Y$ jest inwolucją, to funkcja $\scriptstyle \mathrm {A} \colon X^{Y}\to X^{Y}$ dana wzorem

$\mathrm {A} (f):=i\circ f$

jest inwolucją. Podobnie jeżeli funkcja $\scriptstyle \mathrm {B} \colon Y^{Z}\to Y^{Z}$ zdefiniowana jest wzorem

$\mathrm {B} (g):=g\circ i,$

to jest ona inwolucją (własności te zachodzą dla morfizmów w dowolnej kategorii).

Przykłady

Trywialnym przykładem inwolucji jest przekształcenie tożsamościowe. Inwolucją jest funkcja $\scriptstyle A^{2}\to A^{2},$ czyli kwadratu kartezjańskiego zbioru $\scriptstyle A$ w siebie dane wzorem $\scriptstyle (x,y)\mapsto (y,x);$ zbiorem jej punktów stałych jest przekątna $\scriptstyle \Delta A:=\displaystyle \{\scriptstyle (x,x)\colon x\in A\displaystyle \}\scriptstyle .$ Wiele inwolucji jest indukowanych przez tę inwolucję, np. transpozycja macierzy (opisana inwolucja jest z kolei indukowana przez transpozycję ciągu dwuelementowego, tzn. zamiany osi).

Zmiana znaku $\scriptstyle x\mapsto -x$ jest inwolucją w dowolnej grupie (w notacji addytywnej), a więc pierścieniu (np. liczb całkowitych), czy ciele (np. liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych); odwrotność $\scriptstyle x\mapsto 1/x$ jest inwolucją w grupie elementów odwracalnych (grupie multiplikatywnej ciała, np. liczb wymiernych, rzeczywistych, czy zespolonych różnych od zera). Nietrywialną inwolucją liczb zespolonych jest sprzężenie. W rachunku macierzy inwolucjami są transpozycja, sprzężenie, sprzężenie hermitowskie (połączenie transpozycji i sprzężenia) oraz odwracanie macierzy.

Z punktu widzenia algebry, a w szczególności teorii grup zasadniczo inwolucją nazywa się element rzędu dwa (czasami dopuszcza się też element rzędu pierwszego, czyli element neutralny; wynika to stąd, iż tworzą one podgrupę grupy symetrycznej złożonej ze wszystkich bijekcji ustalonego zbioru). W ten sposób permutacja jest inwolucją wtedy i tylko wtedy, gdy w jej rozkładzie na cykle występują tylko cykle długości 1 i 2; każda permutacja jest złożeniem dwóch inwolucji. Grupy Coxetera to grupy generowane przez inwolucje.

W geometrii euklidesowej inwolucjami są symetrie (m.in. zwierciadlana, osiowa, środkowa) oraz inwersja. Inwolucje są obiektem głębokich badań między innymi w topologii rozmaitości; patrz na przykład .

W teorii zbiorów inwolucjami są różnica symetryczna z ustalonym zbiorem, czy dopełnienie zbioru (do przestrzeni), które jest inwolucją także w dowolnej algebrze Boole'a. W informatyce inwolucją jest szyfr Rot13.

Zobacz też

• działanie grupy na zbiorze