Zdarzenia losowe niezależne: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
Błędny warunek na niezależność m-zdarzeń |
Błędny warunek na niezależność m-zdarzeń |
||
Linia 9: | Linia 9: | ||
: <math> P(A_{i_1} \cap ... \cap A_{i_k})=P(A_{i_1}) \cdot ... \cdot P(A_{i_k})</math> dla każdego układu indeksów <math> i_1, \ldots, i_k </math> oraz dla każdego <math> k = 1, 2, \ldots, m </math>. |
: <math> P(A_{i_1} \cap ... \cap A_{i_k})=P(A_{i_1}) \cdot ... \cdot P(A_{i_k})</math> dla każdego układu indeksów <math> i_1, \ldots, i_k </math> oraz dla każdego <math> k = 1, 2, \ldots, m </math>. |
||
Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia <math>A_1, A_2,\ldots </math> są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej ''n'' zdarzenia <math> |
Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia <math>A_1, A_2,\ldots </math> są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej ''n'' zdarzenia <math>A_{i_1}, \ldots, A_{i_n}</math> są niezależne. |
||
== Własności == |
== Własności == |
Wersja z 16:12, 5 mar 2013
Zdarzenia losowe niezależne - zdarzenia na pewnej ustalonej przestrzeni probabilistycznej spełniające warunek
- .
Taka postać warunku na niezależność zdarzeń i wynika z intuicyjnego stwierdzenia: zdarzenie nie zależy od zdarzenia , jeśli wiedza nt. zajścia nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia . Co można zapisać jako . Z tej intuicji i wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń () wynika powyższy wzór.
Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli , to mówimy, że są one niezależne, gdy spełniony jest warunek
- dla każdego układu indeksów oraz dla każdego .
Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej n zdarzenia są niezależne.
Własności
- Z definicji wynika, że dwa zdarzenia rozłączne są niezależne, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe.
- Gdy zdarzenia są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne też są niezależne oraz:
- .
Por. prawa De Morgana.
Niezależność σ-ciał
σ-ciała , gdzie dla nazywamy niezależnymi, gdy dla dowolnych
- .
Jeżeli , to przez rozumiemy σ-ciało generowane przez zdarzenie , tzn. najmniejsze σ-ciało zawierające zbiór . Dokładniej, dla
- .
Używając tych definicji, niezależność skończonej liczby zdarzeń można scharakteryzować w następujący sposób: zdarzenia są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy σ-ciała są niezależne.
Zobacz też
Bibliografia
- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004, s. 43-47.