Układ współrzędnych kartezjańskich

Dwuwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie, (wcześniej układ taki stosował, choć nie rozpropagował go, Pierre de Fermat).

Definicja

Układem współrzędnych kartezjańskich nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:

• punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru, często oznaczany literą $O$ lub cyfrą $0$.
• zestaw n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
  • $X$ (pierwsza oś, zwana osią odciętych),
  • $Y$ (druga, zwana osią rzędnych),

Liczba osi układu współrzędnych wyznacza tzw. wymiar przestrzeni.

Współrzędne

Aby wyznaczyć k-tą współrzędną zadanego punktu $P$:

1. Tworzymy rzut prostokątny punktu $P$ na k-tą oś, tzn. konstruujemy prostą przechodzącą przez $P$ i prostopadłą do k-tej osi a następnie znajdujemy punkt przecięcia tej prostej z k-tą osią.
2. Wartość w uzyskanym punkcie osi jest k-tą współrzędną $P$.

Trzy pierwsze współrzędne są często oznaczane jako:

• $x$ – odcięta, łac. abscissa,
• $y$ – rzędna, łac. ordinata,
• $z$ – kota, łac. applicata.

Właśnie ze sposobu wyznaczania współrzędnych punktu (poprzez rzut prostokątny) kartezjański układ współrzędnych zyskał również nazwę prostokątnego układu współrzędnych używanego przede wszystkim w szkołach.

Ćwiartki i oktanty

Cztery ćwiartki układu współrzędnych kartezjańskich.

Osie dwuwymiarowego układu kartezjańskiego dzielą płaszczyznę na cztery nieskończone obszary nazywane ćwiartkami, z których każdy ograniczony jest dwoma półosiami. Często numeruje się je od pierwszej do czwartej i oznacza liczbami rzymskimi: I (+,+), II (−,+), III (−,−) oraz IV (+,−), gdzie znaki w nawiasach odpowiadają znakom danej współrzędnej. Jeżeli osie kreślone są zgodnie ze zwyczajem matematycznym, to numeracja rozpoczyna się od prawej-górnej ćwiartki („północno-wschodniej”) i postępuje przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Podobnie trójwymiarowy układ współrzędnych określa podział przestrzeni na osiem obszarów nazywanych czasami oktantami, zgodnie ze znakami współrzędnych punktów. Oktant, którego wszystkie trzy współrzędne są dodatnie nazywany jest niekiedy pierwszym, jednak nie ma ogólnie przyjętej nomenklatury dotyczącej pozostałych oktantów. Uogólnienie ćwiartki i oktantu na wyższe wymiary nazywa się ortantem.

Skrętność przestrzeni trójwymiarowej

Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej może być lewo- lub prawoskrętny. Terminy te są czysto umowne, gdyż nie sposób ściśle zdefiniować, jaki układ jest lewo- czy prawoskrętny, można jednak dla dwóch różnych układów sprawdzić, czy mają tę samą czy przeciwną skrętność.

Intuicyjnie prawoskrętny jest układ, w którym kiedy wnętrze obracającej się prawej dłoni zakreśla łuk od osi $OX$ do $OY$, to kciuk ma zwrot zgodny ze zwrotem osi $OZ$ (tzw. reguła prawej dłoni Royberta albo reguła śruby prawoskrętnej). W ten sposób sprawdzamy, czy badany układ ma tę samą skrętność, co układ wyznaczony przez prawą rękę człowieka.

Zobacz też

• algorytm Hirvonena
• przestrzeń kartezjańska
• układ współrzędnych