Twierdzenie Plancherela

Twierdzenie Plancherela to twierdzenie z zakresu analizy harmonicznej, udowodnione przez Michela Plancherela w 1910 roku. Głosi ono, że istnieje odwzorowanie $F:L^{2}\rightarrow L^{2}$ o następujących własnościach:

• dla $f\in L^{1}\cap L^{2}$, jest $F(f)={\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx$
• dla dowolnej $f$ jest $\|f\|_{2}=\|{\hat {f}}\|_{2}$
• $F$ jest izometrią przestrzeni $L^{2}$ na siebie
• jeśli $\varphi _{A}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-A}^{A}f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx$ oraz $\vartheta _{A}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-A}^{A}{\hat {f}}(x)\,e^{i\omega x}\,d\omega$,

to $\|\varphi _{A}-{\hat {f}}\|_{2}\rightarrow 0$ oraz $\|\vartheta _{A}-f\|_{2}\rightarrow 0$ przy $A\rightarrow \infty$

Przekształcenie $F$ określa transformatę Fouriera (Fouriera-Plancherela) na przestrzeni $L^{2}$. Na podprzestrzeni $L^{1}\cap L^{2}$ jest to klasyczna transformata Fouriera funkcji całkowalnej. Ostatni podpunkt wskazuje metodę rozszerzenia transformaty i transformaty odwrotnej na całą $L^{2}$.

Bibliografia

1. Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Warszawa: PWN, 1996. ISBN 83-01-05124-8.brak strony w książce
2. Kôsaku Yoshida: Functional Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980.brak strony w książce

Zobacz też

• przestrzeń Lp