Funkcja ograniczona

Funkcja ograniczona – funkcja, której wszystkie wartości należą do pewnego przedziału skończonego.

Funkcję nie będącą ograniczoną nazywa się nieograniczoną. Zdefiniować ją można inaczej: jest to funkcja, której zbiór wartości nie zawiera się w żadnym skończonym przedziale.

Funkcję, której przeciwdziedziną jest przestrzeń metryczna nazywamy ograniczoną, gdy wszystkie jej wartości należą do pewnej kuli. Natomiast funkcję nazywamy nieograniczoną, gdy jej zbiór wartości nie zawiera się w żadnej kuli.

Funkcję nazwiemy ograniczoną z góry jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnej ustalonej liczby. Analogicznie: funkcja jest ograniczona z dołu jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnej ustalonej liczby. Zatem, funkcja jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu.

Ciągi ograniczone

Szczególnym przypadkiem funkcji ograniczonych są ciągi ograniczone.

Tylko ciąg ograniczony może mieć skończoną granicę.

Przykłady

• funkcje sin i cos są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału [-2, 2] (oczywiście, również do przedziału [-1, 1]).
• funkcje $y=x,$ $y=x^{2}$ (ogólnie - wszystkie niestałe wielomiany) nie są ograniczone.
• ciąg 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... jest ograniczony, bo wszystkie jego wyrazy należą do przedziału $[0,1]$.
• ciąg 1, 2, 3, 4,... , choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony (bo nie jest ograniczony z góry).
• ciąg -1, -3, -5, -7, ... nie jest ograniczony z dołu, jest natomiast ograniczony z góry.

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki