Liczby wymierne: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m substuję {{Definicja}} |
definicja intuicyjna |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
⚫ | |||
<div class="infobox" style="font-size: 95%; padding:5px;"> |
|||
'''Definicja intuicyjna''' |
|||
---- |
|||
⚫ | |||
'''Liczby wymierne''' – [[liczby]], które można zapisać w postaci [[iloraz]]u dwóch [[liczby całkowite|liczb całkowitych]], gdzie druga jest różna od [[zero|zera]]. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą [[ułamek zwykły|ułamka zwykłego]]. [[Zbiór]] liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem <math>{\mathbb Q}</math>. Wobec tego: |
'''Liczby wymierne''' – [[liczby]], które można zapisać w postaci [[iloraz]]u dwóch [[liczby całkowite|liczb całkowitych]], gdzie druga jest różna od [[zero|zera]]. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą [[ułamek zwykły|ułamka zwykłego]]. [[Zbiór]] liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem <math>{\mathbb Q}</math>. Wobec tego: |
||
: <math>\mathbb Q = \left\{ {m \over n} : m, n \in \mathbb Z, n \ne 0 \right\}</math>. |
: <math>\mathbb Q = \left\{ {m \over n} : m, n \in \mathbb Z, n \ne 0 \right\}</math>. |
Wersja z 14:57, 25 lip 2015
Definicja intuicyjna |
Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne. |
Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem . Wobec tego:
- .
Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. liczby całkowite i liczby naturalne.
Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób:
Niech w zbiorze par liczb całkowitych , których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności
- wtedy i tylko wtedy, gdy .
W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania
- ,
- .
Parę zapisuje się zwykle w postaci ułamka , bądź jeśli , to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą .
Własności
- Liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią ciało.
- Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli jest to zbiór przeliczalny (co oznacza się ).
- Jako podzbiór przestrzeni liczb rzeczywistych , liczby wymierne są gęste w .