Wartość oczekiwana: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
mNie podano opisu zmian |
m MalarzBOT: wstawiam brakujący szablon {{Przypisy}} |
||
Linia 40: | Linia 40: | ||
* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu statystyki|przegląd zagadnień z zakresu statystyki]] |
* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu statystyki|przegląd zagadnień z zakresu statystyki]] |
||
* [[warunkowa wartość oczekiwana]] |
* [[warunkowa wartość oczekiwana]] |
||
{{Przypisy}} |
|||
== Bibliografia == |
== Bibliografia == |
Wersja z 09:11, 21 gru 2016
Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.
Definicja formalna
Jeżeli jest zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej o wartościach w , to wartością oczekiwaną zmiennej losowej nazywa się liczbę
o ile ona istnieje, tzn. jeżeli:
- [2].
Zmienna dyskretna
W przypadku, gdy zmienna losowa ma rozkład dyskretny i przyjmuje tylko skończenie wiele wartości z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio , to z powyższej definicji wynika następujący wzór na wartość oczekiwaną
- [3].
Jeżeli zmienna przyjmuje nieskończenie ale przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje w miejsce (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).
Właściwości
Jeśli jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa , to jej wartość oczekiwana wynosi
- .
Jeżeli jest funkcją mierzalną, to
- .
Jeśli istnieją oraz , to:
- , gdzie jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
- (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
- jeżeli są niezależne, to ,
- jeżeli prawie wszędzie, to ,
- .
W mechanice kwantowej
Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator dla stanu kwantowego układu opisywanego znormalizowaną funkcją falową wynosi , gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.
W notacji Diraca wzór ten można zapisać: .
Nieoznaczoność wartości oczekiwanej , czyli wariancja , wynosi .
Zobacz też
Bibliografia
- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.