Stożek (bryła): Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
m Wycofano edycje użytkownika 79.188.139.9 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to Ignasiak. |
|||
Linia 1: | Linia 1: | ||
[[Plik:Coneirr3.svg|thumb|300px|Stożek – przypadek najogólniejszy]] |
[[Plik:Coneirr3.svg|thumb|300px|Stożek – przypadek najogólniejszy]] |
||
[[Plik:Different cones-diagrams.svg|thumb|350px|Rodzaje stożków]] |
|||
⚫ | |||
[[Plik:Blue-cone.png|200px|thumb|Stożek prosty]] |
|||
⚫ | |||
⚫ | '''Stożek''' (dawniej ''konus'') – [[Bryła geometryczna|bryła]] ograniczona przez powierzchnię stożkową, której linia kierująca jest zamknięta, oraz przez płaszczyznę przecinającą powierzchnię stożkową. Część płaszczyzny wycięta przez powierzchnię stożkową stanowi podstawę stożka. Może mieć ona kształt dowolnej [[figura płaska|figury płaskiej]]. Kierującą powierzchni stożkowej może być obwód podstawy. Wysokością stożka nazywamy odległość [[Wierzchołek (geometria)|wierzchołka]] od płaszczyzny podstawy. |
||
Objętość stożka wynosi |
Objętość stożka wynosi |
||
Linia 11: | Linia 15: | ||
Stożek obrotowy prosty to [[zbiór wypukły|bryła wypukła]] powstała przez [[obrót]] [[trójkąt prostokątny|trójkąta prostokątnego]] wokół jednej z [[trójkąt prostokątny|przyprostokątnych]]. Przyprostokątna ta tworzy wysokość (''h'') stożka, druga przyprostokątna staje się [[Promień (geometria)|promieniem]] podstawy (''r'') zaś [[trójkąt prostokątny|przeciwprostokątna]] – [[tworząca stożka|tworzącą stożka]] (''l''). |
Stożek obrotowy prosty to [[zbiór wypukły|bryła wypukła]] powstała przez [[obrót]] [[trójkąt prostokątny|trójkąta prostokątnego]] wokół jednej z [[trójkąt prostokątny|przyprostokątnych]]. Przyprostokątna ta tworzy wysokość (''h'') stożka, druga przyprostokątna staje się [[Promień (geometria)|promieniem]] podstawy (''r'') zaś [[trójkąt prostokątny|przeciwprostokątna]] – [[tworząca stożka|tworzącą stożka]] (''l''). |
||
⚫ | |||
Stoże |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
: <math>\left\{ {{x^2 +y^2 \le \left(\frac{zr}{h}\right)^2}\atop {0\le z\le h}}\right .</math> |
: <math>\left\{ {{x^2 +y^2 \le \left(\frac{zr}{h}\right)^2}\atop {0\le z\le h}}\right .</math> |
||
:: gdzie <math>r>0,\ h>0</math> |
:: gdzie <math>r>0,\ h>0</math> |
||
Linia 24: | Linia 25: | ||
=== Pole powierzchni bocznej stożka === |
=== Pole powierzchni bocznej stożka === |
||
: <math>\mathcal{P}_b=\pi r l</math> |
: <math>\mathcal{P}_b=\pi r l</math> |
||
Wzór ten można uzyskać w następujący sposób: powierzchnia boczna stożka po rozprostowaniu na płaszczyźnie tworzy [[wycinek kołowy]] o promieniu <math>R=l\;</math> takim jak tworząca stożka i długości łuku równej obwodowi podstawy stożka <math>L=2\pi r\;</math> |
|||
Wycinek kołowy o promieniu <math>R\;</math> i długości łuku <math>L\;</math> ma pole powierzchni<ref>w szczególności dla całego koła byłoby <math>L=2\pi R\;</math> i <math>\mathcal{P}=\frac{1}{2}LR=\frac{1}{2}2\pi R^2=\pi R^2</math></ref>: |
Wycinek kołowy o promieniu <math>R\;</math> i długości łuku <math>L\;</math> ma pole powierzchni<ref>w szczególności dla całego koła byłoby <math>L=2\pi R\;</math> i <math>\mathcal{P}=\frac{1}{2}LR=\frac{1}{2}2\pi R^2=\pi R^2</math></ref>: |
Wersja z 09:35, 27 lut 2017
Stożek (dawniej konus) – bryła ograniczona przez powierzchnię stożkową, której linia kierująca jest zamknięta, oraz przez płaszczyznę przecinającą powierzchnię stożkową. Część płaszczyzny wycięta przez powierzchnię stożkową stanowi podstawę stożka. Może mieć ona kształt dowolnej figury płaskiej. Kierującą powierzchni stożkowej może być obwód podstawy. Wysokością stożka nazywamy odległość wierzchołka od płaszczyzny podstawy.
Objętość stożka wynosi
gdzie
- – pole powierzchni podstawy stożka,
- – wysokość stożka.
Stożek obrotowy
Stożek obrotowy prosty to bryła wypukła powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych. Przyprostokątna ta tworzy wysokość (h) stożka, druga przyprostokątna staje się promieniem podstawy (r) zaś przeciwprostokątna – tworzącą stożka (l).
Stożek w kartezjańskim układzie współrzędnych opisany jest układem nierówności:
-
- gdzie
Długość tworzącej stożka
Długość tworzącej wynika z twierdzenia Pitagorasa:
Pole powierzchni bocznej stożka
Wzór ten można uzyskać w następujący sposób: powierzchnia boczna stożka po rozprostowaniu na płaszczyźnie tworzy wycinek kołowy o promieniu takim jak tworząca stożka i długości łuku równej obwodowi podstawy stożka
Wycinek kołowy o promieniu i długości łuku ma pole powierzchni[1]:
Stąd
Pole powierzchni całkowitej stożka
Objętość stożka
Wzór ten obowiązuje także dla dowolnych ostrosłupów, jest wtedy polem wielokątnej podstawy. Koło jest granicznym przypadkiem ciągu wielokątów foremnych dla liczby boków dążącej do nieskończoności.
Kąt rozwarcia stożka
Tym terminem oznacza się kąt przy wierzchołku przekroju osiowego stożka.
Objętość kuli opisanej na stożku
gdzie - tworząca, - promień podstawy stożka.
Zobacz też
- ↑ w szczególności dla całego koła byłoby i
Bibliografia
- I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1997, wyd. XIV, s. 226, ISBN 83-01-11658-7