Liczby wymierne: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
Wycofano ostatnią zmianę treści (wprowadzoną przez 176.109.49.13) i przywrócono wersję 47382124 autorstwa Tele2001 |
|||
Linia 3: | Linia 3: | ||
: <math>\mathbb Q = \left\{ {m \over n} : m, n \in \mathbb Z, n \ne 0 \right\}</math>. |
: <math>\mathbb Q = \left\{ {m \over n} : m, n \in \mathbb Z, n \ne 0 \right\}</math>. |
||
Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]]. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy '''liczbą niewymierną'''. |
Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]]. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy '''liczbą niewymierną'''. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. [[liczby całkowite]] i [[liczby naturalne]]. |
||
Liczby wymierne tworzą [[ciało ułamków]] [[pierścień (matematyka)|pierścienia]] liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób: |
Liczby wymierne tworzą [[ciało ułamków]] [[pierścień (matematyka)|pierścienia]] liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób: |
Wersja z 19:53, 8 mar 2017
Definicja intuicyjna |
Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne. |
Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem . Wobec tego:
- .
Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. liczby całkowite i liczby naturalne.
Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób:
Niech w zbiorze par liczb całkowitych , których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności
- wtedy i tylko wtedy, gdy .
W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania
- ,
- .
Parę zapisuje się zwykle w postaci ułamka , bądź jeśli , to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą .
Własności
- Liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią ciało.
- W arytmetyce teoretycznej ciało liczb wymiernych definiuje się jako ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych.
- Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli jest to zbiór przeliczalny (co oznacza się ).
- Jako podzbiór przestrzeni liczb rzeczywistych , liczby wymierne są gęste w .