Wielokąt foremny: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
Linia 15: | Linia 15: | ||
* <math>n</math> – liczba boków wielokąta foremnego; |
* <math>n</math> – liczba boków wielokąta foremnego; |
||
* <math>a</math> – długość jednego boku wielokąta. |
* <math>a</math> – długość jednego boku wielokąta. |
||
* <math>h</math> – wysokość trójkąta powstałego przez połączenie dwóch wierzchołków wielokąta foremnego, a środkiem okręgu opisanego na wielokącie foremnym (także środkiem wielokąta foremnego). Dwa boki trójkąta niebędące bokiem wielokąta są również dwoma promieniami okręgu opisanego na wielokącie foremnym. |
|||
[[Plik:Wielkokąt foremny.tif|prawo|255x255px|Trójkąt w wielokącie foremnym]] |
|||
'''Wzór na miarę [[kąt wewnętrzny|kąta wewnętrznego]] (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:''' |
'''Wzór na miarę [[kąt wewnętrzny|kąta wewnętrznego]] (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:''' |
||
: <math>\gamma=\frac{\pi(n-2)}{n} \mathrm{ rad} \,\! = \frac{180^{\circ}\cdot(n-2)}{n}</math> |
: <math>\gamma=\frac{\pi(n-2)}{n} \mathrm{ rad} \,\! = \frac{180^{\circ}\cdot(n-2)}{n}</math> |
||
Linia 37: | Linia 36: | ||
: <math>L=n \cdot a\,</math> |
: <math>L=n \cdot a\,</math> |
||
''' |
'''Wzór na [[pole powierzchni]] wielokąta foremnego:''' |
||
: <math>S=\frac{1}{4}na^2\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}={}</math> |
: <math>S=\frac{1}{4}na^2\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}={}</math> |
||
:: <math>{}=\frac{nar}{2}={}</math> |
:: <math>{}=\frac{nar}{2}={}</math> |
||
Linia 43: | Linia 42: | ||
:: <math>{}=nR^2\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n}={}</math> |
:: <math>{}=nR^2\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n}={}</math> |
||
:: <math>{}=\frac{1}{2}nR^2\sin\frac{2\pi}{n}</math> |
:: <math>{}=\frac{1}{2}nR^2\sin\frac{2\pi}{n}</math> |
||
<math>S= </math><math>|\Pi r^2-n(\frac{\Pi r^2 \frac{360}{a}}{360}-\frac{a h}{2})|</math> |
|||
'''Wzór na długości [[przekątna|przekątnych]] wielokąta foremnego:''' |
'''Wzór na długości [[przekątna|przekątnych]] wielokąta foremnego:''' |
Wersja z 09:25, 6 kwi 2017
Wielokąt foremny – wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Najmniejszą możliwą liczbą boków wielokąta foremnego jest 3. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt (dwubok) foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby .
Trójkąt foremny jest określany jako trójkąt równoboczny, czworokąt foremny - jako kwadrat.
Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss, który w 1801 odkrył, że n-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego cyrkla i linijki (tzw. konstrukcje klasyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą postaci gdzie są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Twierdzenie to jest dziś znane jako twierdzenie Gaussa-Wantzela.
Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.
Wzory
Przyjęte oznaczenia:
- – liczba boków wielokąta foremnego;
- – długość jednego boku wielokąta.
Wzór na miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:
Wzór na miarę kąta środkowego (czyli kąt, pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):
Wzór na promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym:
Wzór na promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny:
Wzory na długość boku wielokąta foremnego:
Wzór na obwód wielokąta foremnego:
Wzór na pole powierzchni wielokąta foremnego:
Wzór na długości przekątnych wielokąta foremnego:
gdzie
Kąt między dowolnymi sąsiednimi przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka (włącznie z bokami wychodzącymi z tego wierzchołka)
Tabela wielokątów foremnych
Poniżej znajduje się lista najprostszych wielokątów foremnych.
Nazwa | Ilustracja | Liczba boków | Miara kąta wewnętrznego | Konstruowalny cyrklem i linijką? |
---|---|---|---|---|
Trójkąt równoboczny | 3 | tak | ||
Kwadrat | 4 | tak | ||
Pięciokąt foremny | 5 | tak | ||
Sześciokąt foremny | 6 | tak | ||
Siedmiokąt foremny | 7 | nie | ||
Ośmiokąt foremny | 8 | tak | ||
Dziewięciokąt foremny | 9 | nie | ||
Dziesięciokąt foremny | 10 | tak |