Wielokąt foremny

Kolejne wielokąty foremne

Wielokąt foremny – wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Najmniejszą możliwą liczbą boków wielokąta foremnego jest 3. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt (dwubok) foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby $0^{\circ }\$.

Trójkąt foremny jest określany jako trójkąt równoboczny, czworokąt foremny - jako kwadrat.

Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss, który w 1801 odkrył, że n-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego cyrkla i linijki (tzw. konstrukcje klasyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą postaci $2^{k}p_{1}p_{2}\ldots p_{s},$ gdzie $p_{1},\ p_{2},\ \ldots ,\ p_{s}$ są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Twierdzenie to jest dziś znane jako twierdzenie Gaussa-Wantzela.

Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.

Wzory

Przyjęte oznaczenia:

- $n$ – liczba boków wielokąta foremnego;

- $a$ – długość jednego boku wielokąta.

• Wzór na miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:

  $\gamma ={\frac {\pi (n-2)}{n}}\mathrm {rad} \,\!={\frac {180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}}$

• Wzór na miarę kąta środkowego (czyli kąt, pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):

  $\beta ={\frac {2\pi }{n}}\mathrm {rad} \,\!={\frac {360^{\circ }}{n}}$

• Wzór na promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym:

  $R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {a}{2}}\operatorname {csc} {\frac {\pi }{n}}$

• Wzór na promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny:

  $r={\frac {a}{2\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {a}{2}}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}$

• Wzory na długość boku wielokąta foremnego:

  $a=2{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}$

  $=2R\sin {\frac {\pi }{n}}$

  $=2r\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}$

• Wzór na obwód wielokąta foremnego:

  $L=n\cdot a\,$

• Wzory na pole powierzchni wielokąta foremnego:

  $S={\frac {1}{4}}na^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}={}$

  ${}={\frac {nar}{2}}={}$

  ${}=nr^{2}\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}={}$

  ${}=nR^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}\cos {\frac {\pi }{n}}={}$

  ${}={\frac {1}{2}}nR^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}$

• Wzór na długości przekątnych wielokąta foremnego:

  $d_{k}={\frac {a\sin {\frac {(k+1)\pi }{n}}}{\sin {\frac {\pi }{n}}}},$

  gdzie $k\in \mathbb {N} ,\ 1\leq k\leq n-3\,$

• Kąt między dowolnymi sąsiednimi przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka (włącznie z bokami wychodzącymi z tego wierzchołka)

  $\gamma ={\frac {\pi }{n}}\mathrm {rad} \,\!={\frac {180^{\circ }}{n}}$

Tabela wielokątów foremnych

Poniżej znajduje się lista najprostszych wielokątów foremnych.

Nazwa	Ilustracja	Liczba boków	Miara kąta wewnętrznego	Konstruowalny cyrklem i linijką?
Trójkąt równoboczny		3	$60^{\circ }\$	tak
Kwadrat		4	$90^{\circ }\$	tak
Pięciokąt foremny		5	$108^{\circ }\$	tak
Sześciokąt foremny		6	$120^{\circ }\$	tak
Siedmiokąt foremny		7	${128{\tfrac {4}{7}}}^{\circ }\$	nie
Ośmiokąt foremny		8	$135^{\circ }\$	tak
Dziewięciokąt foremny		9	$140^{\circ }\$	nie
Dziesięciokąt foremny		10	$144^{\circ }\$	tak

Zobacz też

• wzór Picka.