Łańcuch (teoria mnogości): Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m przecinek, replaced: wtedy gdy → wtedy, gdy (3) przy użyciu AWB |
m lit. |
||
Linia 2: | Linia 2: | ||
== Definicja == |
== Definicja == |
||
Przy określonym częściowym porządku <math>(P, \sqsubseteq)</math> [[zbiór]] <math>A\subseteq P</math> nazywamy '''łańcuchem''' wtedy i tylko wtedy, gdy |
Przy określonym częściowym porządku <math>(P, \sqsubseteq)</math> [[zbiór]] <math>A\subseteq P</math> nazywamy '''łańcuchem''' wtedy i tylko wtedy, gdy |
||
: <math>\big(\forall x,y \in A\big)\big(x \sqsubseteq y \vee y \sqsubseteq x\big)</math>. |
: <math>\big(\forall x,y \in A\big)\big(x \sqsubseteq y \vee y \sqsubseteq x\big)</math>. |
||
Innymi słowy zbiór <math>A</math> jest łańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy relacja <math>\sqsubseteq</math> porządkuje go [[Porządek liniowy|liniowo]], czyli jest ona relacją [[Relacja spójna|spójną]] w <math>A</math>. |
Innymi słowy zbiór <math>A</math> jest łańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy relacja <math>\sqsubseteq</math> porządkuje go [[Porządek liniowy|liniowo]], czyli jest ona relacją [[Relacja spójna|spójną]] w <math>A</math>. |
||
Linia 9: | Linia 9: | ||
== Przykłady i własności == |
== Przykłady i własności == |
||
* Zauważmy, że każdy zbiór jednoelementowy jest łańcuchem (i jednocześnie jest też [[antyłańcuch]]em). |
* Zauważmy, że każdy zbiór jednoelementowy jest łańcuchem (i jednocześnie jest też [[antyłańcuch]]em). |
||
* Rozważmy płaszczyznę <math>\mathbb{R}^2</math> z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez |
* Rozważmy płaszczyznę <math>\mathbb{R}^2</math> z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez |
||
: <math>\langle x_1,y_1\rangle \leqslant_0\langle x_2,y_2\rangle</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>x_1\leqslant x_2</math> i <math>y_1\leqslant y_2</math>. |
: <math>\langle x_1,y_1\rangle \leqslant_0\langle x_2,y_2\rangle</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>x_1\leqslant x_2</math> i <math>y_1\leqslant y_2</math>. |
||
: (Powyżej, <math>\leqslant </math> jest standardową nierównością na [[liczby rzeczywiste|prostej rzeczywistej]] <math>\mathbb{R}</math>.) Wówczas każda [[prosta]] pionowa i każda prosta o [[Znak liczby|nieujemnym]] współczynniku kierunkowym jest łańcuchem w <math>(\mathbb{R}^2,\leqslant_0)</math>. Także wykres dowolnej [[funkcja rosnąca|funkcji rosnącej]] jest łańcuchem w tym porządku. |
: (Powyżej, <math>\leqslant </math> jest standardową nierównością na [[liczby rzeczywiste|prostej rzeczywistej]] <math>\mathbb{R}</math>.) Wówczas każda [[prosta]] pionowa i każda prosta o [[Znak liczby|nieujemnym]] współczynniku kierunkowym jest łańcuchem w <math>(\mathbb{R}^2,\leqslant_0)</math>. Także wykres dowolnej [[funkcja rosnąca|funkcji rosnącej]] jest łańcuchem w tym porządku. |
||
* Rozważmy zbiór <math>{}^{\omega>}2</math> wszystkich skończonych ciągów zero-jedynkowych uporządkowany (częściowo) przez relację <math>\trianglelefteq</math> wydłużania ciągów. Dla ciągu nieskończonego <math>\eta:\omega\longrightarrow 2</math> połóżmy <math>A_\eta=\{\eta\upharpoonright n:n\in\omega\}</math>. Wówczas <math>A_\eta</math> jest łańcuchem w <math>({}^{\omega>}2,\trianglelefteq)</math>. Ponadto każdy łańcuch w tym porządku częściowym jest zawarty w zbiorze <math>A_\eta</math> dla pewnego <math>\eta:\omega\longrightarrow 2</math>. |
* Rozważmy zbiór <math>{}^{\omega>}2</math> wszystkich skończonych ciągów zero-jedynkowych uporządkowany (częściowo) przez relację <math>\trianglelefteq</math> wydłużania ciągów. Dla ciągu nieskończonego <math>\eta:\omega\longrightarrow 2</math> połóżmy <math>A_\eta=\{\eta\upharpoonright n:n\in\omega\}</math>. Wówczas <math>A_\eta</math> jest łańcuchem w <math>({}^{\omega>}2,\trianglelefteq)</math>. Ponadto każdy łańcuch w tym porządku częściowym jest zawarty w zbiorze <math>A_\eta</math> dla pewnego <math>\eta:\omega\longrightarrow 2</math>. |
||
Linia 17: | Linia 17: | ||
== Warunki łańcucha == |
== Warunki łańcucha == |
||
W teorii porządków częściowych rozważa się czasami dwie własności porządków bezpośrednio związane z łańcuchami. Niech <math>(P, \sqsubseteq)</math> będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. |
W teorii porządków częściowych rozważa się czasami dwie własności porządków bezpośrednio związane z łańcuchami. Niech <math>(P, \sqsubseteq)</math> będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. |
||
* Powiemy że <math>P</math> spełnia '''warunek rosnących łańcuchów''' lub ACC (od [[język angielski|ang.]] ''ascending chain condition'') jeśli każdy rosnący łańcuch <math>a_0\sqsubseteq a_1\sqsubseteq a_2\sqsubseteq\ldots</math> jest od pewnego miejsca stały. |
* Powiemy że <math>P</math> spełnia '''warunek rosnących łańcuchów''' lub ACC (od [[język angielski|ang.]] ''ascending chain condition'') jeśli każdy rosnący łańcuch <math>a_0\sqsubseteq a_1\sqsubseteq a_2\sqsubseteq\ldots</math> jest od pewnego miejsca stały. |
||
* Podobnie mówimy że <math>P</math> spełnia '''warunek malejących łańcuchów''' lub DCC (od [[język angielski|ang.]] ''descending chain condition'') jeśli każdy malejący łańcuch <math>a_0\sqsupseteq a_1\sqsupseteq a_2\sqsupseteq\ldots</math> jest od pewnego miejsca stały. |
* Podobnie mówimy że <math>P</math> spełnia '''warunek malejących łańcuchów''' lub DCC (od [[język angielski|ang.]] ''descending chain condition'') jeśli każdy malejący łańcuch <math>a_0\sqsupseteq a_1\sqsupseteq a_2\sqsupseteq\ldots</math> jest od pewnego miejsca stały. |
||
Linia 24: | Linia 24: | ||
== Funkcje kardynalne == |
== Funkcje kardynalne == |
||
W porządkach skończonych wprowadza się '''długość porządku''' (czasami zwaną też '''wysokością porządku''') jako ilość elementów w najdłuższym łańcuchu w tym porządku. Dwie [[funkcja kardynalna|funkcje kardynalne]] na algebrach Boole'a, '''głębokość''' <math>{\rm depth}</math> i '''długość''' <math>{\rm length}</math> są bezpośrednio związane ze strukturą |
W porządkach skończonych wprowadza się '''długość porządku''' (czasami zwaną też '''wysokością porządku''') jako ilość elementów w najdłuższym łańcuchu w tym porządku. Dwie [[funkcja kardynalna|funkcje kardynalne]] na algebrach Boole'a, '''głębokość''' <math>{\rm depth}</math> i '''długość''' <math>{\rm length}</math> są bezpośrednio związane ze strukturą łańcuchów w rozważanej algebrze. Niech <math>\mathbb{B}</math> będzie algebrą Boole'a. Określamy |
||
: <math>{\rm length}(\mathbb{B})=\sup\big\{|A|:A\subseteq \mathbb{B}</math> jest łańcuchem <math>\big\}</math> |
: <math>{\rm length}(\mathbb{B})=\sup\big\{|A|:A\subseteq \mathbb{B}</math> jest łańcuchem <math>\big\}</math> |
||
: <math>{\rm depth}(\mathbb{B})=\sup\big\{ |A|:A\subseteq \mathbb{B}</math> jest [[Dobry porządek|dobrze uporządkowanym]] łańcuchem <math>\big\}</math>. |
: <math>{\rm depth}(\mathbb{B})=\sup\big\{ |A|:A\subseteq \mathbb{B}</math> jest [[Dobry porządek|dobrze uporządkowanym]] łańcuchem <math>\big\}</math>. |
Wersja z 20:55, 22 maj 2017
Łańcuchy to w teorii częściowych porządków i w teorii mnogości podzbiory porządku na których relacja porządkująca jest spójna.
Definicja
Przy określonym częściowym porządku zbiór nazywamy łańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy
- .
Innymi słowy zbiór jest łańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy relacja porządkuje go liniowo, czyli jest ona relacją spójną w .
Intuicyjnie, zbiór jest łańcuchem, gdy da się porównać każde dwa jego elementy.
Przykłady i własności
- Zauważmy, że każdy zbiór jednoelementowy jest łańcuchem (i jednocześnie jest też antyłańcuchem).
- Rozważmy płaszczyznę z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez
- wtedy i tylko wtedy, gdy i .
- (Powyżej, jest standardową nierównością na prostej rzeczywistej .) Wówczas każda prosta pionowa i każda prosta o nieujemnym współczynniku kierunkowym jest łańcuchem w . Także wykres dowolnej funkcji rosnącej jest łańcuchem w tym porządku.
- Rozważmy zbiór wszystkich skończonych ciągów zero-jedynkowych uporządkowany (częściowo) przez relację wydłużania ciągów. Dla ciągu nieskończonego połóżmy . Wówczas jest łańcuchem w . Ponadto każdy łańcuch w tym porządku częściowym jest zawarty w zbiorze dla pewnego .
- Twierdzenie Dilwortha mówi że częściowy porządek jest sumą łańcuchów () wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera elementowych antyłańcuchów (w sensie teorii posetów).
Warunki łańcucha
W teorii porządków częściowych rozważa się czasami dwie własności porządków bezpośrednio związane z łańcuchami. Niech będzie zbiorem częściowo uporządkowanym.
- Powiemy że spełnia warunek rosnących łańcuchów lub ACC (od ang. ascending chain condition) jeśli każdy rosnący łańcuch jest od pewnego miejsca stały.
- Podobnie mówimy że spełnia warunek malejących łańcuchów lub DCC (od ang. descending chain condition) jeśli każdy malejący łańcuch jest od pewnego miejsca stały.
W teorii forsingu rozważa się własność określaną czasami jako warunek przeliczalnego łańcucha. Własność ta bezpośredniego związku z łańcuchami nie ma i lepszą nazwą dla niej jest warunek przeliczalnych antyłańcuchów (jako że ta własność postuluje że każdy antyłańcuch w rozważanym pojęciu forcingu jest przeliczalny). Użycie słowa łańcuch było prawdopodobnie spowodowane pewnym zamieszaniem w stosowanym nazewnictwie w początkowych latach rozwoju teorii. Innym możliwym wytłumaczeniem jest fakt, że jeśli jest zupełną algebrą Boole'a, to każdy antyłańcuch w jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy w algebrze nie istnieje nieprzeliczalny ściśle malejący ciąg ().
Funkcje kardynalne
W porządkach skończonych wprowadza się długość porządku (czasami zwaną też wysokością porządku) jako ilość elementów w najdłuższym łańcuchu w tym porządku. Dwie funkcje kardynalne na algebrach Boole'a, głębokość i długość są bezpośrednio związane ze strukturą łańcuchów w rozważanej algebrze. Niech będzie algebrą Boole'a. Określamy
- jest łańcuchem
- jest dobrze uporządkowanym łańcuchem .