Liczby wymierne: Różnice pomiędzy wersjami

	Definicja intuicyjna
	Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

Przeglądaj historię interaktywnie

[wersja przejrzana]

← poprzednia edycja następna edycja →

Usunięta treść Dodana treść

WizualnieWikikod

Jednokolumnowy

Wersja z 14:13, 10 kwi 2018

Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem $\mathbb {Q} .$ Wobec tego:

\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}.

Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. liczby całkowite i liczby naturalne.

Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób:

Niech w zbiorze par liczb całkowitych $(a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{*},$ których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności

(a,b)\sim (c,d)

wtedy i tylko wtedy, gdy

ad=bc.

W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania

$[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)],$
$[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)].$

Parę $(a,b)$ zapisuje się zwykle w postaci ułamka ${\tfrac {a}{b}},$ bądź jeśli $b=1,$ to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą $a.$

Własności

Liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią ciało.
- W arytmetyce teoretycznej ciało liczb wymiernych definiuje się jako ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych.
Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli jest to zbiór przeliczalny (co oznacza się $|\mathbb {Q} |=\aleph _{0}$ ).
Jako podzbiór przestrzeni liczb rzeczywistych $\mathbb {R} ,$ liczby wymierne są gęste w $\mathbb {R} .$

Zobacz też

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
 {{Definicja intuicyjna|Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca [[rozwinięcie dziesiętne]].}}
-'''Liczby wymierne''' – [[liczby]], które można zapisać w postaci [[iloraz]]u dwóch [[liczby całkowite|liczb całkowitych]], gdzie druga jest różna od [[zero|zera]]. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą [[ułamek zwykły|ułamka zwykłego]]. [[Zbiór]] liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem <math>{\mathbb Q}</math>. Wobec tego:
+'''Liczby wymierne''' – [[Liczba|liczby]], które można zapisać w postaci [[Dzielenie|ilorazu]] dwóch [[liczby całkowite|liczb całkowitych]], gdzie druga jest różna od [[0 (liczba)|zera]]. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą [[Ułamek|ułamka zwykłego]]. [[Zbiór]] liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem <math>\mathbb Q.</math> Wobec tego:
-: <math>\mathbb Q = \left\{ {m \over n} : m, n \in \mathbb Z, n \ne 0 \right\}</math>.
+: <math>\mathbb Q = \left\{ \frac{m}{n} : m, n \in \mathbb Z, n \ne 0 \right\}.</math>
 Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]]. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy '''liczbą niewymierną'''. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. [[liczby całkowite]] i [[liczby naturalne]].
@@ Linia 7: / Linia 7: @@
 Liczby wymierne tworzą [[ciało ułamków]] [[pierścień (matematyka)|pierścienia]] liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób:
-Niech w zbiorze [[para uporządkowana|par]] liczb całkowitych <math>(a,b) \in \mathbb Z \times \mathbb Z^*</math>, których następnik jest różny od [[zero|zera]], dana będzie [[relacja równoważności]]
+Niech w zbiorze [[para uporządkowana|par]] liczb całkowitych <math>(a,b) \in \mathbb Z \times \mathbb Z^*,</math> których następnik jest różny od [[0 (liczba)|zera]], dana będzie [[relacja równoważności]]
-: <math>(a,b) \sim (c,d)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>ad=bc</math>.
+: <math>(a,b) \sim (c,d)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>ad=bc.</math>
 W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa [[działanie dwuargumentowe|działania]]
-* <math>[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]</math>,
+* <math>[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)],</math>
-* <math>[(a,b)] \cdot [(c,d)] = [(ac,bd)]</math>.
+* <math>[(a,b)] \cdot [(c,d)] = [(ac,bd)].</math>
-Parę <math>(a, b)</math> zapisuje się zwykle w postaci ułamka <math>\tfrac{a}{b}</math>, bądź jeśli <math>b=1</math>, to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą <math>a</math>.
+Parę <math>(a, b)</math> zapisuje się zwykle w postaci ułamka <math>\tfrac{a}{b},</math> bądź jeśli <math>b=1,</math> to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą <math>a.</math>
 == Własności ==
@@ Linia 20: / Linia 20: @@
 ** W arytmetyce teoretycznej ciało liczb wymiernych definiuje się jako [[ciało ułamków]] pierścienia [[liczby całkowite|liczb całkowitych]].
 * Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem [[liczby naturalne|liczb naturalnych]], czyli jest to [[zbiór przeliczalny]] (co oznacza się <math>|\mathbb Q| = \aleph_0</math>).
-* Jako podzbiór przestrzeni [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] <math>{\mathbb R}</math>, liczby wymierne są [[zbiór gęsty|gęste]] w <math>{\mathbb R}</math>.
+* Jako podzbiór przestrzeni [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] <math>\mathbb R,</math> liczby wymierne są [[zbiór gęsty|gęste]] w <math>\mathbb R.</math>
 == Zobacz też ==