Łańcuch Markowa

Przykład procesu Markowa

Proces Markowa – ciąg zdarzeń, w którym prawdopodobieństwo każdego zdarzenia zależy jedynie od wyniku poprzedniego. W ujęciu matematycznym, procesy Markowa to takie procesy stochastyczne, które spełniają własność Markowa.

Łańcuchy Markowa to procesy Markowa z czasem dyskretnym.

Łańcuch Markowa jest ciągiem X₁, X₂, X₃, ... zmiennych losowych. Dziedzinę tych zmiennych nazywamy przestrzenią stanów, a realizacje X_n to stany w czasie n. Jeśli rozkład warunkowy X_n+1 jest funkcją wyłącznie zmiennej X_n:

$P(X_{n+1}\leqslant y|X_{0},X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})=P(X_{n+1}\leqslant y|X_{n})$

to mówimy, że proces stochastyczny posiada własność Markowa.

Przedstawiona definicja zakłada czas dyskretny. Istnieją procesy Markowa z czasem ciągłym, jednak nie są one przedstawione w tym artykule.

Procesy Markowa zawdzięczają swoją nazwę ich twórcy Andriejowi Markowowi, który po raz pierwszy opisał problem w 1906 roku. Uogólnienie na przeliczalnie nieskończone przestrzenie stanów zostało opracowane przez Kołmogorowa w 1936. Łańcuchy Markowa mają związek z ruchami Browna oraz hipotezą ergodyczną, dwoma ważnymi w fizyce tematami, ale powstały jako uogólnienie prawa wielkich liczb na zdarzenia zależne.

Własności łańcuchów Markowa

Rozkład początkowy

Rozkładem początkowym nazywamy rozkład (dyskretny) zmiennej X₀.

Macierz przejść

Definicja

Jeśli łańcuch Markowa jest jednorodny, rozkład prawdopodobieństw przejść między poszczególnymi stanami może być przedstawiony jako macierz, zwaną macierzą prawdopodobieństw przejścia. Jest to macierz stochastyczna, oznaczamy zwykle literą P, gdzie wyraz (i, j) wyraża się wzorem:

$p_{i,j}=P(X_{n+1}=j\mid X_{n}=i).$

Z jednorodności wynika, że rzeczywiście p_i,j nie zależy od n. Przykładowo element p_1,3 oznacza prawdopodobieństwo przejścia ze stanu pierwszego do stanu trzeciego.

Równania Chapmana-Kołmogorowa

Prawdopodobieństwem przejścia ze stanu i do stanu j w n krokach nazywa się prawdopodobieństwo warunkowe

$p_{i,j}^{(n)}=P(X_{m+n}=j|X_{m}=i)$.

Dla prawdopodobieństw przejść spełnione są następujące równanie, nazywane równaniami Chapmana-Kołmogorowa:

$p_{i,j}^{(n+m)}=\sum _{k\in E}p_{i,k}^{(n)}p_{k,j}^{(m)}$.

Intuicyjne jest jasne, że aby dojść do stanu j można po drodze przejść przez dowolny inny stan skomunikowany z j i i. Stosując zapis macierzowy, równania Chapmana-Kołmogorowa można zapisać w postaci:

$\mathbf {P} ^{m+n}=\mathbf {P} ^{m}\mathbf {P} ^{n}$,

gdzie przez Pⁿ jest macierzą przejść w n krokach.

Klasyfikacja stanów

Mówi się, że:

• stan i jest osiągalny ze stanu j, jeśli p_j,i >0;
• stany i i j są skomunikowane, jeśli są wzajemnie osiągalne. Oznaczenie: i  ↔  j.

Można wykazać, że relacja skomunikowania jest relacją równoważności. Zatem zbiór możliwych stanów można podzielić na klasy abstrakcji względem tej relacji. Każda z klas tworzy zbiór stanów wzajemnie skomunikowanych.

Stany chwilowe i rekurencyjne

Niech f_i oznacza prawdopodobieństwo tego, że startując ze stanu i łańcuch kiedykolwiek do niego powróci.

• Jeśli f_i = 1 to stan i nazywany jest rekurencyjnym.
• Jeśli f_i < 1 to stan i nazywany jest chwilowym.

Każdy stan jest albo chwilowy albo rekurencyjny. Stan i jest rekurencyjny wtedy i tylko wtedy, gdy:

$\sum _{n=1}^{\infty }p_{i,i}^{(n)}=\infty .$

Rozkład stacjonarny

Rozkład prawdopodobieństw na przestrzeni stanów S nazywany jest stacjonarnym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

$\pi _{j}=\sum _{i\in S}\pi _{i}p_{ij},$

tj.

$\pi \mathbf {P} =\pi ,$

gdzie π jest takim wektorem wierszowym, że:

$\sum _{i}\pi _{i}=1\quad \forall \pi _{i}\geq 0$.

Jeśli rozkład początkowy $\mathbf {x_{0}}$ jest stacjonarny, to każdy kolejny rozkład $\mathbf {x_{n}}$ również jest stacjonarny.

Może nie istnieć żaden, istnieć jeden lub więcej niż jeden rozkład stacjonarny dla danego procesu.

Zobacz też

• Własność Markowa

Bibliografia

• Maria Podgórska i in.: Łańcuchy Markowa w teorii i zastosowaniach. Warszawa: Szkoła Główna Handlowa, Oficyna Wydawnicza, 2002.
• Anzelm Iwanik, Jolanta Katarzyna Misiewicz: Wykłady z procesów stochastycznych z zadaniami. Cz. 1, Procesy Markowa. Zielona Góra: Oficyna Wydawnicza Uniwersytetu Zielonogórskiego, 2009.

Linki zewnętrzne

• O łańcuchach Markowa na stronach wydziału MIM Uniwersytetu Warszawskiego