Rozmaitość różniczkowa

Rozmaitość różniczkowa (rozmaitość różniczkowalna) – rozmaitość topologiczna, którą można przedstawić w postaci sumy otwartych podzbiorów (niekoniecznie rozłącznych), przy czym każdy punkt poszczególnych podzbiorów da się opisać za pomocą współrzędnych uogólnionych będących funkcjami co najmniej klasy $C^{1}$, tj. posiadających ciągłe pochodne w każdym punkcie tego podzbioru.

Podzbiory, na jakie dzieli się daną rozmaitość, nazywa się mapami, a zbiór map nazywa się atlasem. Bez założenia wielości map wiele rozmaitości nie można by zaliczyć do rozmaitości różniczkowych. Np. sferę, dla której nie istnieje globalny układ współrzędnych, można przedstawić jako sumę dwóch częściowo pokrywających się podzbiorów, których punkty da się opisać za pomocą odpowiednio dobranych współrzędnych sferycznych (będących funkcjami klasy $C^{\infty }$).

Rozmaitość różniczkowa klasy $C^{1}$

Definicja:

Zbiór $M\subseteq \mathbb {R} ^{N}$ nazywa się rozmaitością różniczkową (klasy $C^{1}$ i wymiaru $n$, $0\leq n\leq N$), gdy:

• $\forall _{p\in M}$ istnieje w $\mathbb {R} ^{N}$ otwarte otoczenie $U\ni p$ oraz zbiór otwarty $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ i
• homeomorfizm $\alpha :(U\cap M)\to V$ taki, że odwzorowanie $\alpha ^{-1}:V\to U\cap M$ jest klasy $C^{1}$ i różniczka $D\alpha ^{-1}(x)$ jest iniekcją dla każdego $x\in V$.

Funkcję $\alpha$ nazywamy mapą rozmaitości, zaś $\alpha ^{-1}$ jej parametryzacją.

Część autorów, w tym Andrzej Birkholc w swej "Analizie wielu zmiennych" homeomorfizm o powyższych własnościach nazywa uogólnionym dyfeomorfizmem lub po prostu dyfeomorfizmem, rozszerzając w ten sposób jego definicję.

Rozmaitości różniczkowe klasy $C^{0}$, $C^{n}$ oraz $C^{\omega }$

W definicji rozmaitości można zażądać wyższej gładkości rozmaitości poprzez żądanie, by funkcja była nie klasy $C^{1}$ ale wyższej. Wprowadza się przy tym definicje:

• Rozmaitością różniczkową klasy $C^{0}$ nazywa się rozmaitość topologiczną, która nie posiada map klasy $C^{1}$.
• Rozmaitością różniczkową klasy $C^{n}$ nazywa się rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy $C^{n}$, gdzie $n\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$.
• Rozmaitością klasy $C^{\omega }$ nazywa się rozmaitość analityczną.

Zobacz też

• rozmaitość różniczkowalna